Question

【題目】在△ABC中，D是CB延長線上一點，∠BAD＝∠BAC．

（1）如圖，求證：；

（2）如圖，在AD上有一點E，∠EBA＝∠ACB＝120°．若AC＝2BC＝2，求DE的長；

（3）如圖，若AB＝AC＝2BC＝4，BE⊥AB交AD于點E，直接寫出△BDE的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）DE＝；（3）

【解析】

（1）如圖1中，作BE⊥AD于E，BF⊥AC于F．利用面積法證明即可．

（2）如圖2中，作AH⊥DC交DC的延長線于H．解直角三角形求出AB，再利用相似三角形的性質解決問題即可．

（3）如圖3中，作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M，EF⊥BD于F．利用面積法求出BM，再利用相似三角形的性質求出BE，BF，EF，DF即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，作BE⊥AD于E，BF⊥AC于F．

∵∠BAD＝∠BAC，BE⊥AD，BF⊥AC，

∴BE＝BF，

∴，

∴．

（2）解：如圖2中，作AH⊥DC交DC的延長線于H．

在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，∠ACH＝60°，

∴CH＝1，AH＝，

在Rt△ABH中，AB＝，

∵∠EAB＝∠BAC，∠ABE＝∠ACB，

∴△EAB∽△BAC，

∴，

∴，

∴AE＝，EB＝，

∵∠ABD＝∠DBE+∠ABE＝∠ACB+∠BAC，∠ABE＝∠ACB，

∴∠DBE＝∠BAC，

∵∠BAC＝∠BAD，

∴∠DBE＝∠BAD，

∵∠D＝∠D，

∴△DEB∽△DBA，

∴，

∴，

∴DE＝．

（3）解：如圖3中，作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M，EF⊥BD于F．

∵AB＝AC＝4，AH⊥BC，

∴BH＝CH＝1，

∴AH＝，

∵BCAH＝ACBM，

∴BM＝，AM＝,

∵∠BAE＝∠BAM，∠ABE＝∠AMB＝90°，

∴△ABE∽△AMB，

∴，

∴BE＝，

由△EFB∽△BHA，

∴，

∴，

EF＝，BF＝，

∵EF∥AH，

∴，

∴，

∴DF＝，

∴S△BDE＝BDEF＝×（）×＝．