Question

等邊△ABC邊長為6，P為BC邊上一點，∠MPN=60°，且PM、PN分別于邊AB、AC交于點E、F．
（1）如圖1，當點P為BC的三等分點，且PE⊥AB時，判斷△EPF的形狀；
（2）如圖2，若點P在BC邊上運動，且保持PE⊥AB，設BP=x，四邊形AEPF面積的y，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）如圖3，若點P在BC邊上運動，且∠MPN繞點P旋轉，當CF=AE=2時，求PE的長．

Answer 1

解：（1）∵點P為BC的三等分點，
∴BP=BC=4，PC=BC=2，
∵PE⊥AB，
∴在直角△BPE中，∠B=60°，
∴∠BPE=30°，
∴BE=BP=2，
∴BE=CP，
又∵∠MPN=60°，
∴△EPF是等邊三角形；

（2）△ABC的面積是：×6×6×=9；
BP=x，則BE=BP=x．EP=BE=x，PC=6-x，PF=PC=（6-x）．
則△BPE的面積是：BE•EP=וx=x²，
△PCF的面積是：PC•PF=（6-x）•（6-x）=（6-x）²．
∴四邊形AEPF面積的y=9-x²-（6-x）²；
即y=-x²+6x-9（3＜x＜6）；

（3）∵在△BPE中，∠B=60°，
∴∠BEP+∠BPE=120°，
∵∠MPN=60°，
∴∠BPE+∠FPC=120°，
∴∠BEP=∠FPC，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP，
∴=，
設BP=x，則CP=6-x．
∴=，
解得：x=2或4．
當x=2時，在三角形△BEP中，∠B=60°，BE=4，BP=2，
則PE=2；
當x=4時，在三角形△BEP中，∠B=60°，BE=4，BP=4，
則△BEP是等邊三角形，∴PE=4．
故PE=2或4．
分析：（1）根據三等分點的定義，求得BP與PC的長，進而根據直角三角形中30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得BE的長，即可作出判斷；
（2）分別表示出△ABC、△BPE、△PCF的面積，根據四邊形AEPF的面積=△ABC的面積-△BPE的面積-△PCF的面積，即可求解；
（3）首先證明△BPE∽△CFP，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求得BP的長，進而即可求得PE的長．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質，正確根據相似三角形對應邊的比相等求得BP的長是解題的關鍵．