Question

【題目】如圖，中，，，，點在內，且平分，平分，過點作直線，分別交、于點、，若與相似，則線段的長為（ ）

A.5B.C.5或D.6

Answer 1

【答案】B

【解析】

分△APQ∽△ABC，△APQ∽△ACB兩種情況，結合相似三角形的性質和三角形內切圓求解即可.

解：若△APQ∽△ABC，

∴∠APQ=∠ABC，

∴PQ∥BC，，

∴∠PDB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠PBD=∠CBD，

∴∠PBD =∠PDB，

∴PB=PD，同理，DQ=CQ，

∵，，，

∴BC=，

設AP=x，根據得,

∴AQ=，

∴PB=PD=8-x，CQ=DQ=6-，

∴PQ=PD+QD=，

∴，即，

解得：x=，

∴PQ=；

若△APQ∽△ACB，

則，

由題意知：D為△ABC的內心，設△ABC的內切圓交AB于M，交AC于N，

可知四邊形AMDN為正方形，

∴∠A=∠AMD=∠AND=∠MDN=90°，

∴AM∥DN，AN∥DM，

∴∠MPD=∠NDQ，∠MDP=∠NQD，

∴△MPD∽△NDQ，

∴，

∵AB=8，AC=6，BC=10，

∴DM=DN==2，

∴AM=AN=2，

設PM=x，則，

∴NQ=，

∵，即，

解得：x=或-2（舍），

∴AP=+2=，

∴PQ=AP×BC÷AC=×10÷6=.

綜上：PQ的值為.

故選B.