Question

已知拋物線的頂點為（1，0），且經過點（0，1）．

（1）求該拋物線對應的函數的解析式；

（2）將該拋物線向下平移個單位，設得到的拋物線的頂點為A，與軸的兩個交點為B、C，若△ABC為等邊三角形．

①求的值；

②設點A關于軸的對稱點為點D，在拋物線上是否存在點P，使四邊形CBDP為菱形？若存在，寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意可得，解得

∴拋物線對應的函數的解析式為．………………………………3分

（2）①將向下平移個單位得：-=，可知A(1，-)，B(1-，0)，C(1+，0)，BC=2．……………………………6分

由△ABC為等邊三角形，得，由＞0，解得=3．…………7分

②不存在這樣的點P．   ……………………………………………………………8分

∵點D與點A關于軸對稱，∴D（1，3）．由①得BC=2．要使四邊形CBDP為菱形，需DP∥BC，DP=BC．

由題意，知點P的橫坐標為1+2，

當=1+2時-m==，故不存在這樣的點P．……………………………………………………………………11分

【相關知識點】確定二次函數的表達式；二次函數的性質；關于軸的對稱點的性質；等邊三角形的性質；菱形的判定

【解題思路】二次函數的圖象與性質是中考的重點與難點，因而應高度重視，本題屬于綜合性較強的題目，應理清思路，對每一個知識點都應熟練掌握并能靈活運用，本題求出二次函數的解析式是解此題的關鍵，應熟練掌握三點式和頂點式求拋物線解析式的方法；二次函數的平移通常指的是圖象的平移，應注意總結平移的規律．