Question

已知等邊三角形△ABC和點P，過點P作三邊AB、AC、BC的平行線分別交AC、BC、AB于F、G、E，如圖①，點P在BC邊上可得PE+PF+PG=BC．當點P在△ABC內部時（如圖②），點P在△ABC外部時如圖③，這兩種情況下是否還存在PE+PF+PG=BC的結論？若成立請給予證明，若不成立，那么PE、PF、PG與BC又有怎樣的關系，請寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

解：（1）如圖②，延長FP，與BC交于點D，
∵等邊三角形△ABC，
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵PE∥BC，PG∥AC，PF∥AB，
∴∠A=∠B=∠C=∠PGD=∠PDG=∠AEP=∠CFP=60°，EP=BD，
∴△PDG為等邊三角形，四邊形PECG為等腰梯形，
∴PG=DG，PE=BD，PF=CG，
∵BC=BD+DG+CG，
∴BC=PE+PF+PG，

（2）如圖③，點P在△ABC外部時，PE+PF+PG=BC的結論不成立，
PE、PF、PG與BC的關系為：PE+PG-PF=BC．

分析：（1）如圖②，延長FP，與BC交于點D，即FD∥AB，由等邊三角形△ABC，同時PE∥BC，PG∥AC，PF∥AB，即可推出∠A=∠B=∠C=∠PGD=∠PDG=∠AEP=∠CFP=60°，即可確定PG=DG，PE=BD，PF=CG，由BC=BD+DG+CG，即可推出BC=PE+PF+PG；
（2）如圖③，作EH∥AC，交BG于點H，由等邊三角形的性質和平行線的性質，以及等腰梯形的性質即可推出PE=HG，PG=EH=BH，PF=CG，即可推出PE+PG=BG，BG=BC+PF，通過等量代換即可推出PE+PG-PF=BC．
點評：本題主要考查等邊三角形的性質，平行線的性質，等腰梯形的判定及性質，關鍵在于結合圖形正確地作出輔助線，推出相等的角和邊．