Question

【題目】如圖①，正方形中，點是對角線的中點，點是線段上（不與點，重合）的一個動點，過點作且交邊于點．

（1）求證：．

（2）如圖②，若正方形的邊長為，過點作于點，在點運動的過程中，的長度是否發生變化？若不變，試求出這個不變的值；若變化，請說明理由．

（3）用等式表示線段，，之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）在點運動的過程中，的長度不發生變化，理由見解析；（3），理由見解析

【解析】

（1）作輔助線，構建全等三角形，根據ASA證明△BMP≌△PNE可得結論；

（2）如圖②，連接OB，通過證明△OBP≌△FPE，得PF＝OB，則PF為定值是；

（3）根據△AMP和△PCN是等腰直角三角形，得PA＝PM，PC＝NC，整理可得結論．

（1）證明：如圖①，過點作，交于點，交于點．

∵，

∴，

∴．

∵四邊形是正方形，

∴．

∵，

∴，

∵，

∴．

在中，，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∴．

（2）解：在點運動的過程中，的長度不發生變化．

理由：如圖②，連接．

∵點是正方形對角線的中點，

∴，

∴，

∴，

∴．

∴，

∴，

∴．

由（1）得，

∴，

∴．

∵，是等腰直角三角形，

∴．

∴的長為定值．

（3）解：．

理由：如圖1，∵，

∴是等腰直角三角形，

∴．

由（1）知，

∴．

∵是等腰直角三角形，

∴．