【題目】如圖,已知⊙O是△ABC的外接圓,AD是⊙O的直徑,且BD=BC,延長AD到E,且有∠EBD=∠CAB.
(1)如圖1,若BD=,AC=6
A.求證:BE為圓O的切線
B.求DE的長
(2)如圖2,連結CD交AB于點F,若BD=,CF=3,求圓O的半徑.
【答案】(1)A.見解析;B.;(2)5
【解析】
(1)A.連接OB,由條件可求得∠EBD=∠ABO,再利用圓周角定理可求得∠EBD+∠OBD=90°,可證明BE是⊙O的切線;
B.利用圓內接四邊形的性質可求得∠BDE=∠ACB,可證明△ACB∽△BDE,利用相似三角形的性質可求得DE的長;
(2)延長DB、AC交于點H,可證得△ABD≌△ABH,可求得HB,再利用△DCH∽△DBF,可求得DF的長,設⊙O的半徑為r,則AD=AH=2r,在Rt△DCH中可求得CH=4,在Rt△ADC中,AD=2r,CD=8,AC=2r-4,由勾股定理可得到關于r的方程,可求得圓的半徑.
(1) A.如圖1,連接OB,
∵BD=BC,
∴∠CAB=∠BAD,
∵∠EBD=∠CAB,
∴∠BAD=∠EBD,
∵AD是⊙O的直徑,
∴∠ABD=90°,OA=BO,
∴∠BAD=∠ABO,
∴∠EBD=∠ABO,
∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°,
∵點B在⊙O上,
∴BE是⊙O的切線;
B.∵四邊形ACBD是圓的內接四邊形,
∴∠ACB=∠BDE,且∠EBD=∠CAB,
∴△ACB∽△BDE,
∴=
,即
,
解得DE=;
(2)如圖2,延長DB、AC交于點H,
∵AD為⊙O的直徑,
∴∠ABD=∠ABH=90°,
∵BD=BC,
∴∠DAB=∠HAB,
在△ABD和△ABH中
∴△ABD≌△ABH(ASA),
∴BD=HB=,
∵∠DCH=∠FBD=90°,
∴△DCH∽△DBF,
∴=
,即
=
,解得DF=5,
設⊙O的半徑為r,則AD=AH=2r,
在Rt△DCH中,CH==
=4,
∴AC=2r4,
在Rt△ACD中,由勾股定理可得AD2=AC2+CD2,
∴(2r)2=(2r4)2+82,解得r=5,
即⊙O的半徑為5.
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【題目】如圖是函數y=與函數y=
在第一象限內的圖象,點P是y=
的圖象上一動點,PA⊥x軸于點A,交y=
的圖象于點C,PB⊥y軸于點B,交y=
的圖象于點D.
(1)求證:D是BP的中點;
(2)求四邊形ODPC的面積.
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【題目】如圖,△ABC內接于⊙O,且AB=AC,延長BC至點D,使CD=CA,連接AD交⊙O與點E,連接BE,CE.
(1)求證:△ABE≌△CDE;
(2)填空:
①當∠ABC的度數為______時,四邊形AOCE是菱形;
②若AE=,AB=2
,則DE的長為______.
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【題目】如圖,已知△ABC,按如下步驟作圖:
①分別以A、C為圓心,以大于AC的長為半徑在AC兩邊作弧,交于兩點M,N;
②連接MN,分別交AB、AC于點D、O;
③過C作CE∥AB交MN于點E,連接AE、CD.
(1)求證:四邊形ADCE是菱形.
(2)當∠ACB=90°,AC=16,△ADC的周長為36時,直接寫出四邊形ADCE的面積為______.
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【題目】在一個口袋中裝有四個完全相同的小球,它們分別寫有“美”“麗”、“椒”、“江”的文字.
(1)先從袋摸出1個球后放回,混合均勻后再摸出1個球,求兩次摸出的球上是寫有“美麗”二字的概率;
(2)先從袋中摸出1個球后不放回,再摸出1個球。求兩次摸出的球上寫有“椒江”二字的概率.
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【題目】學校準備在校園內修建一個矩形的綠化帶,矩形的面積為定值,它的一邊長與另一邊長
之間的函數圖像如圖.
(1)該綠化帶的面積是多少?寫出與
的函數解析式.
(2)完成下表,并回答問題:如果該綠化帶的長不得超過
,那么
應控制在什么范圍?
10 | 20 | 30 | 40 | |
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【題目】陽陽超市以每件10元的價格購進了一批玩具,定價為20元時,平均每天可售出80個.經調查發現,玩具的單價每降1元,每天可多售出40個;玩具的單價每漲1元,每天要少售出5個.如何定價才能使每天的利潤最大?求出此時的最大利潤.
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【題目】如圖,△ACE,△ACD均為直角三角形,∠ACE=90°,∠ADC=90°,AE與CD相交于點P,以CD為直徑的⊙O恰好經過點E,并與AC,AE分別交于點B和點F.
(1)求證:∠ADF=∠EAC.
(2)若PC=PA,PF=1,求AF的長.
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【題目】與
都是等腰直角三角形,且
,
,連接DC,點M、P、N分別為DE、DC、BC的中點
(1)如圖1,當點D、E分別在邊AB、AC上,線段PM與PN的數量關系是______,位置關系是______;
(2)把等腰繞點A旋轉到如圖2的位置,連接MN,判斷
的形狀,并說明理由;
(3)把等腰繞點A在平面內任意旋轉,
,
,請直接寫出
的面積S的變化范圍.
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