Question

在平面直角坐標系中，有一個矩形ABCD，四個頂點的坐標分別為：A（4，0）、B（4，2）、C（8，2）、D（8，0），并且有兩個動點P和Q．P從原點O出發，沿x軸正方向運動；Q從A點出發，沿折線A-B-C-D方向在矩形的邊上運動，且兩點的運動速度均為每秒2個單位．當Q到達D點時，P也隨之停止．設運動的時間為x．
（1）分別求出當x=1和x=3時，對應的△OPQ的面積；
（2）設△OPQ的面積為y，分別求出不同時段，y關于x的函數解析式，注明自變量的取值范圍．并求出在整個運動過程中，△OPQ的面積的最大值；
（3）在P、Q運動過程中，是否存在兩個時刻x₁和x₂，使得構成相應的△OP₁Q₁和△OP₂Q₂相似？若存在，直接寫出這兩個時刻，并證明兩個三角形相似；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：當x=1時，面積為：S=×（4-2）×2=2，
當x=3時，面積為S=×（3×2）×2=6，
答：當x=1時，△OPQ的面積是2，當x=3時，△OPQ的面積是6．

（2）當0≤x≤1時，y₁=•2x•2x=2x^2，
∴^{，y₁=2x2，
同法可求：}
當1≤x≤3時，y₂=2x；
當3≤x≤4時，y₃=-2x²+8x）；
當x=3時，面積的最大值是6，
答：y₁=2x²（0≤x≤1）；y₂=2x（1≤x≤3）；y₃=-2x²+8x（3≤x≤4）．在整個運動過程中，△OPQ的面積的最大值是6．

（3）當x₁=1，x₂=2時，△OP₁Q₁和△OP₂Q₂相似．
因為；
所以：，
所以△OP₁Q₁和△OP₂Q₂相似．
分析：（1）根據面積公式即可求出答案；
（2）在運動過程中看P、Q的位置，根據面積公式計算即可；
（3）利用勾股定理求出線段長，根據三邊對應成比例，兩三角形相似即可得出結論．
點評：本題主要考查了二次函數，矩形的性質，相似三角形的性質和判定，三角形的面積，勾股定理等知識點，綜合運用性質進行計算是解此題的關鍵．本題綜合性比較強，有一定的難度．