Question

【題目】（舊知再現）圓內接四邊形的對角 .

如圖①，四邊形是的內接四邊形，若，則 .

（問題創新）圓內接四邊形的邊會有特殊性質嗎？

如圖②，某數學興趣小組進行深入研究發現：

證明：如圖③，作，交于點.

∵，

∴，

∴ 即 （請按他們的思路繼續完成證明）

（應用遷移）如圖④，已知等邊外接圓，點為 上一點，且，，求的長.

Answer 1

【答案】【舊知再現】互補， 110；【問題創新】見解析；【應用遷移】

【解析】

【重溫舊知】根據圓周角定理，得出，，化簡得出，利用等腰三角形的兩個底角相等和圓內接四邊形對角互補，即可得；
【提出問題】所得等式兩邊加上ADBC，右邊變形后即可得證；
【應用遷移】由上題的結論，根據為等邊三角形，可得AB=AC=BC，代入化簡即可求出PA的長.

（1）如圖示：

連接OA，OC，根據圓周角定理，

則有：，

∴

∴圓內接四邊形的對角互補；

∵，

∴在等腰三角形ABD中，

∴

（2）證明：如圖，

∵

∴，即，

又∵，

∴

∴，即

∴，

∴，

（3）

由（2）可知

∵是等邊三角形，

∴，

∴，

∴即.