Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線的頂點是A(1，3)，將OA繞點O逆時針旋轉后得到OB，點B恰好在拋物線上，OB與拋物線的對稱軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P是線段AC上一動點，且不與點A，C重合，過點P作平行于x軸的直線，與的邊分別交于M，N兩點，將以直線MN為對稱軸翻折，得到．

設點P的縱坐標為m．

①當在內部時，求m的取值范圍；

②是否存在點P，使,若存在，求出滿足m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】；（2）①；②存在，滿足m的值為或．

【解析】

（1）作AD⊥y軸于點D，作BE⊥x軸于點E，然后證明△AOD≌△BOE，則AD=BE，OD=OE，即可得到點B的坐標，然后利用待定系數法，即可求出解析式；

（2）①由點P為線段AC上的動點，則討論動點的位置是解題的突破口，有點P與點A重合時；點P與點C重合時，兩種情況進行分析計算，即可得到答案；

②根據題意，可分為兩種情況進行當點M在線段OA上，點N在AB上時；當點M在線段OB上，點N在AB上時；先求出直線OA和直線AB的解析式，然后利用m的式子表示出兩個三角形的面積，根據等量關系列出方程，解方程即可求出m的值．

解：（1）如圖：作AD⊥y軸于點D，作BE⊥x軸于點E，

∴∠ADO=∠BEO=90°，

∵將OA繞點O逆時針旋轉后得到OB，

∴OA=OB，∠AOB=90°，

∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°，

∴∠AOD=∠BOE，

∴△AOD≌△BOE，

∴AD=BE，OD=OE，

∵頂點A為（1，3），

∴AD=BE=1，OD=OE=3，

∴點B的坐標為（3，），

設拋物線的解析式為，

把點B代入，得

，

∴，

∴拋物線的解析式為，

即；

（2）①∵P是線段AC上一動點，

∴，

∵當在內部時，

當點恰好與點C重合時，如圖：

∵點B為（3，），

∴直線OB的解析式為，

令，則，

∴點C的坐標為（1，），

∴AC=，

∵P為AC的中點，

∴AP=，

∴，

∴m的取值范圍是；

②當點M在線段OA上，點N在AB上時，如圖：

∵點P在線段AC上，則點P為（1，m），

∵點與點A關于MN對稱，則點的坐標為（1，2m3），

∴，，

設直接OA為，直線AB為，

分別把點A，點B代入計算，得

直接OA為；直線AB為，

令，

則點M的橫坐標為，點N的橫坐標為，

∴；

∵；

；

又∵，

∴，

解得：或（舍去）；

當點M在邊OB上，點N在邊AB上時，如圖：

把代入，則，

∴，，

∴，

，

∵，

∴，

解得：或（舍去）；

綜合上述，m的值為：或．