Question

已知△ABC的一邊AC為關于x的一元二次方程x²+mx+4=0的兩個正整數根之一，且另兩邊長為BC=4，AB=6，求cosA．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，根據根與系數的關系求出一元二次方程x²+mx+4=0的兩根之積，由方程的兩個正整數根估計出兩根的值，再根據三角形的三邊關系確定出AC的長，由等腰三角形的性質可求出AD的長，最后由銳角三角函數的定義解答即可．

解答：解：根據與系數的關系可知：
x₁•x₂=4，
又∵x₁、x₂為正整數解，
∴x₁，x₂可為1、4或2、2（2分）
又∵BC=4，AB=6，
∴2＜AC＜10，
∴AC=4，（5分）
∴AC=BC=4，△ABC為等腰三角形，
過點C作CD⊥AB，∴AD=3，（7分）
cosA=

AD

AC

=

3

4

．（8分）

點評：本題考查的是銳角三角函數的定義、一元二次方程根與系數的關系及等腰三角形的性質，涉及面較廣，難度適中．