Question

【題目】如圖，BC是半⊙O的直徑，A是⊙O上一點，過點的切線交CB的延長線于點P，過點B的切線交CA的延長線于點E，AP與BE相交于點F．

（1）求證：BF＝EF；

（2）若AF＝，半⊙O的半徑為2，求PA的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）連接OA，可得∠E+∠C＝∠EAF+∠OAC＝90°，再根據OA＝OC，即可解答

（2）連接AB，可得∠OAP＝∠OBE＝90°，且BF＝AF＝1.5，根據三角函數求出PB＝，

再證明△APB∽△CPA，即可解答

（1）證明：連接OA，

∵AF、BF為半⊙O的切線，

∴AF＝BF，∠FAO＝∠EBC＝90°，

∴∠E+∠C＝∠EAF+∠OAC＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠C＝∠OAC，

∴∠E＝∠EAF，

∴AF＝EF，

∴BF＝EF；

（2）解：連接AB，

∵AF、BF為半⊙O的切線，

∴∠OAP＝∠OBE＝90°，且BF＝AF＝1.5，

又∵tan∠P＝ ，即 ，

∴PB＝ ，

∵∠PAE+∠OAC＝∠AEB+∠OCA＝90°，且∠OAC＝∠OCA，

∴∠PAE＝∠AEB，∠P＝∠P，

∴△APB∽△CPA，

∴ ，即PA2＝PBPC，

∴ ，解得PA＝ ．