Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，以點M（0，3）為圓心、5為半徑的圓與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點C、D（點C在點D的上方），經過B、C兩點的拋物線的頂點E在第二象限.

(1)、求點A、B兩點的坐標.

(2)、當拋物線的對稱軸與⊙M相切時, 求此時拋物線的解析式.

(3)、連結AE、AC、CE，若．①求點E坐標；②在直線BC上是否存在點P，使得以點B、M、

P為頂點的三角形和△ACE相似？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)、A(－4,0)；B(4,0)；(2)、；(3)、E；P.

【解析】

試題分析：(1)、連接AM，根據題意得出AM=5，OM=3，則OA=0B=4，求出點坐標；(2)、設出函數解析式，根據題意得c=8，將點B的坐標代入找出b和a的關系式，求出直線的對稱軸；根據切線的性質得出對稱軸為x=－5，求出a和b的值；(3)、根據∠ACO和∠CAE的正切值得出兩個角相等，根據點A在對稱軸上，則可得出對對稱軸為直線x=－4，求出a的值，然后求出頂點坐標.

試題解析：(1)、連結M A，由題意得：AM=5，OM=3，則OA=4，同理得OB=4，

∴點A、點B的坐標分別是（-4，0）、（4，0）

（2）設經過B、C兩點的拋物線解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

∴c=8,0=16a+4b+8，∴b=-4a-2； 此時，y=ax2+（-4a-2）x+8（a≠0），

它的對稱軸是直線：x==；

又∵拋物線的頂點E在第二象限且該拋物線的對稱軸與⊙M相切， 則=-5，∴a=，b=，

∴拋物線的解析式為

(3)、①在Rt△AOC中 tan∠ACO=，而tan∠CAE=

∴∠CAE=∠ACO，所以AE∥CO，即點A在拋物線的對稱軸上

又∵y=ax2+（-4a-2）x+8，∴，∴a=；∴

∴E

②在直線BC上存在點P，使得以點B、M、P為頂點的三角形和△ACE相似，點P的坐標為