Question

如圖①，在⊙O中AB是直徑，D是上半圓中點，E是下半圓中點，點C是⊙O上一點（不與B、E重合）連接AD、BD、AC、BC．設BC長度為n，AC長度為m．
（1）用含m、n的式子表示四邊形ACBD的面積S；
（2）證明：；
（3）如圖②③，當點C運動至或上時，②中結論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，請用含m、n的式子表示tan∠DAC．（直接寫答案，并選擇其中一種證明）

Answer 1

解：（1）∵AB的⊙O的直徑，
∴∠C=∠D=90°，
∵D是上半圓中點，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
在Rt△ABC中，AB==，
∴AD=AB=，
∴四邊形ACBD的面積S=S_△ABC+S_△ABD，
=AC•BC+AD²，
=mn+×（m²+n²），
=（m+n）²；

（2）如圖①，過點D作DM⊥AC于M，作DN⊥BC交CB的延長線于N，則四邊形DMCN是矩形，
∴∠BDN+∠BDM=90°，
又∵∠ADM+∠BDN=∠ADB=90°，
∴∠ADM=∠BDN，
∵在△ADM和△BDN中，
，
∴△ADM≌△BDN（AAS），
∴AM=BN，DM=DN，
∴矩形DMCN是正方形，
設正方形的邊長為x，AM=BN=y，則
，
解得，
tan∠DAC===；

（3）結論不成立，點C在上時，tan∠DAC=；
點C在上時，tan∠DAC=．
理由如下：點C在上時，
如圖②，點C′為點C關于原點的對稱點，連接AC′、BC′，
則四邊形AC′C是矩形，
∴AC′=BC=n，BC′=AC=m，
過點D作DM⊥AC′于M，作DN⊥BC′交C′B的延長線于N，
與（2）同理可求，AM=BN，DM=DN，
∴矩形DMCN是正方形，
設正方形的邊長為x，AM=BN=y，則，
解得，
∵DM⊥AC′，AC′∥BC，
∴DM⊥BC，
∵∠C=90°，
∴AC∥DM，
∴∠DAC=∠ADM，
∴tan∠DAC=tan∠ADM===；
點C在上時，如圖③，
設正方形的邊長為x，AN=BM=y，則，
解得，
tan∠DAC=tan∠ADN===．
分析：（1）根據直徑所對的圓周角是直角可得∠C=∠D=90°，根據等弧所對的弦相等可得AD=BD，從而得到△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理列式求出AB，再根據等腰直角三角形的性質求出AD，然后根據四邊形ACBD的面積S=S_△ABC+S_△ABD，列式計算即可得解；
（2）過點D作DM⊥AC于M，作DN⊥BC交CB的延長線于N，可得四邊形DMCN是矩形，根據同角的余角相等求出∠ADM=∠BDN，然后利用“角角邊”證明△ADM和△BDN全等，根據全等三角形對應邊相等可得AM=BN，DM=DN，從而得到矩形DMCN是正方形，設正方形的邊長為x，AM=BN=y，然后用m、n表示a列出方程組求解得到x、y，再根據銳角的正切值等于對邊比鄰邊列式計算即可得解；
（3）圖②，先求出點C關于原點的對稱點C′，連接AC′、BC′，根據對角線互相平分且相等的四邊形是矩形可得四邊形AC′C是矩形，過點D作DM⊥AC′于M，作DN⊥BC′交C′B的延長線于N，然后與（2）的思路相同求解即可；圖③同理可求．
點評：本題考查了圓的綜合題型，主要利用了直徑所對的圓周角是直角，等腰直角三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，銳角的正切的定義，作輔助線構造出全等三角形與正方形是解題的關鍵，也是本題的難點．