Question

【題目】已知，把45°的直三角板的直角頂點E放在邊長為6的正方形ABCD的一邊BC上，直三角板的一條直角邊經過點D，以DE為一邊作矩形DEFG，且GF過點A，得到圖1．

（1）求矩形DEFG的面積；

（2）若把正方形ABCD沿著對角線AC剪掉一半得到等腰直角三角形ABC，把45°的直三角板的一個45°角的頂點與等腰直角三角形ABC的直角頂點B重合，直三角板夾這個45°角的兩邊分別交CA和CA的延長線于點H、P，得到圖2．猜想：CH、PA、HP之間的數量關系，并說明理由；

（3）若把邊長為6的正方形ABCD沿著對角線AC剪掉一半得到等腰直角三角形ABC，點M是Rt△ABC內一個動點，連接MA、MB、MC，設MA+MB+MC＝y，直接寫出 的最小值．

Answer 1

【答案】（1）36；（2）CH2+PA2＝HP2，理由見解析；（3）72+36．

【解析】

（1）根據正方形的性質得到∠ADC＝∠DCE＝90°，根據矩形的性質得到∠AGD＝∠GDE＝90°，根據相似三角形的性質和矩形的面積公式即可得到結論；

（2）根據旋轉的性質得到BK＝BP，∠PBA＝∠KBC，∠BCK＝∠BAP＝ ＝135°，由勾股定理得到，求得∠PBA+∠ABE＝45°，通過等量代換得到∠KBC+∠ABE＝45°，根再據全等三角形的性質得到HK＝HP，根據勾股定理即可得到結論；

（3）根據旋轉的性質得到MC＝KN，BM＝BK，根據等邊三角形的性質得到MK＝BM，于是得到MA+MB+MC＝AM+MK+KN，當A，M，K，N四點共線時，AN就是所求的MA+MB+MC的最小值，過N作NQ⊥AB交AB的延長線于Q，求得AQ＝AB+BQ＝，再根據勾股定理即可得到結論．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝∠DCE＝90°，

∵四邊形DEFG是矩形，

∴∠AGD＝∠GDE＝90°，

∴∠DCE＝∠AGD＝90°，∠ADC＝∠GDE＝90°，

∴∠ADC﹣∠ADE＝∠GDE﹣∠ADE，

∴∠EDC＝∠ADG，

∵∠EDC＝∠ADG，∠DCE＝∠AGD＝90°，

∴△ECD∽△AGD，

∴，

∴DGDE＝DCDA＝6×6＝36，

∴矩形DEFG的面積＝DGDE＝36；

（2），

證明：把△BAP繞著點B順時針旋轉90°得到△BCK，連接KH，

由旋轉得△BAP≌△BCK，

∴BK＝BP，∠PBA＝∠KBC，∠BCK＝∠BAP＝，

∴∠HCK＝＝，

∴由勾股定理得，，

∵∠PBE＝45°，

∴∠PBA+∠ABE＝45°，

∵∠PBA＝∠KBC，

∴∠KBC+∠ABE＝45°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠HBK＝45°，

∵∠PBE＝45°，

∴∠HBK＝∠PBE＝45°，

∵BK＝BP，∠HBK＝∠PBE，BH＝BH，

∴△BHP≌△BHK（SAS），

∴HK＝HP，

∵，

∴；

（3）把△BMC繞著點B順時針旋轉60°得到△BKN，連接MK，BN，NC，

由旋轉得，△BMC≌△BKN，

∴MC＝KN，BM＝BK，

∵BM＝BK，∠MBK＝60°，

∴△BKM是等邊三角形，

∴MK＝BM，

∴MA+MB+MC＝AM+MK+KN，

當A，M，K，N四點共線時，AN就是所求的MA+MB+MC的最小值，

過N作NQ⊥AB交AB的延長線于Q，

∵，∠BQN＝90°，

∴QN＝BNsin30°＝6×＝3，BQ＝BNcos30°＝，

∴AQ＝AB+BQ＝ ，

在Rt△AQN中，由勾股定理得， ，

∴的最小值為．