Question

【題目】如圖，頂點為M的拋物線分別與x軸相交于點A，B（點A在點B的右側），與y軸相交于點C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）判斷△BCM是否為直角三角形，并說明理由．

（3）拋物線上是否存在點N（點N與點M不重合），使得以點A，B，C，N為頂點的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）△BCM是直角三角形；（3）N（，）或N（，）或N（﹣2，﹣3）．

【解析】

試題分析：（1）用待定系數法求出拋物線解析式即可；

（2）由拋物線解析式確定出拋物線的頂點坐標和與x軸的交點坐標，用勾股定理的逆定理即可；

（3）根據題意判斷出點N只能在x軸上方的拋物線上，由已知四邊形的面積相等轉化出S△ABN=S△BCM，然后求出三角形BCM的面積，再建立關于點N的坐標的方程求解即可．

試題解析：（1）∵拋物線與y軸相交于點C（0，﹣3），∴﹣3=a﹣4，∴a=1，∴拋物線解析式為，即；

（2）△BCM是直角三角形．理由：

由（1）有，拋物線解析式為，∵頂點為M的拋物線，∴M（﹣1，﹣4），由（1）拋物線解析式為，令y=0，∴，∴=﹣3，=1，∴A（1，0），B（﹣3，0），∴=9+9=18，=1+1=2，=4+14=20，∴，∴△BCM是直角三角形；

（3）存在．∵以點A，B，C，N為頂點的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等，且點M是拋物線的頂點，分兩種情況討論：

①點N在x軸上方的拋物線上，如圖，由（2）有△BCM是直角三角形，=18，=2，∴BC=，CM=，∴S△BCM=BC×CM==3，設N（m，n），∵以點A，B，C，N為頂點的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等，∴S△ABN+S△ABC=S△BCM+S△ABC，∴S△ABN=S△BCM=3，∵A（1，0），B（﹣3，0），∴AB=4，∴S△ABN=×AB×n=×4×n=2n=3，∴n=，∵N在拋物線解析式為的圖象上，∴，∴m1=，m2=，∴N（，）或N（，）；

②如圖2，點N在x軸下方的拋物線上，∵點C在對稱軸的右側，∴點N在對稱軸右側不存在，只有在對稱軸的左側，過點M作MN∥BC，交拋物線于點N，∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），∴直線BC解析式為y=﹣x﹣3，設MN的解析式為y=﹣x+b，∵拋物線解析式為①，∴M（﹣1，﹣4），∴直線MN解析式為y=﹣x﹣5②，聯立①②得：，解得：（舍），，∴N（﹣2，﹣3）．

綜上所述：N（，）或N（，）或N（﹣2，﹣3）．