Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線y＝x﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數y＝x2+bx+c的圖象經過B，C兩點，且與x軸的負半軸交于點A．

（1）求二次函數的解析式；

（2）如圖1，點M是線段BC上的一動點，動點D在直線BC下方的二次函數圖象上．設點D的橫坐標為m．

①過點D作DM⊥BC于點M，求線段DM關于m的函數關系式，并求線段DM的最大值；

②若△CDM為等腰直角三角形，直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）①DM＝﹣，DM的最大值為；②M的坐標為（）或（，﹣）．

【解析】

（1）由直線y＝x﹣2得B（4，0）、C（0，﹣2），將B（4，0）、C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c，列方程組求出b、c即可；

（2）①過點DH∥AB，交直線y＝x﹣2于點H．則∠H＝∠OBC，OC＝2，OB＝4，BC＝2，由sin∠H＝sin∠OBC＝＝＝，即＝，設D（m，m2﹣m﹣2），則H（m2﹣3m，m2﹣m﹣2），DH＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m，所以DM＝（﹣m2+4m）＝﹣，當m＝2時，DM的最大值為；

②分兩種情況：當CM⊥DM時，過點M作ME⊥y軸于點E，點D作DF∥y軸，交EM的延長線于點F；當CD⊥DM時，過點D作DE⊥y軸于點E，點M作MF∥y軸，交ED的延長線于點F，分別求出t的值即可．

解（1）由直線y＝x﹣2得

B（4，0）、C（0，﹣2），

將B（4，0）、C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c，

，

解得b＝，c＝﹣2，

∴二次函數的解析式y＝x2﹣x﹣2；

（2）①過點DH∥AB，交直線y＝x﹣2于點H．

∴∠H＝∠OBC，

∵B（4，0）、C（0，﹣2），

∴OC＝2，OB＝4，BC＝2

∴sin∠H＝sin∠OBC＝＝＝，

即＝，

設D（m，m2﹣m﹣2），則H（m2﹣3m，m2﹣m﹣2），

∴DH＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m，

∴DM＝（﹣m2+4m）＝﹣，

當m＝2時，DM的最大值為；

②Ⅰ．當CM⊥DM時，過點M作ME⊥y軸于點E，點D作DF∥y軸，交EM的延長線于點F，

∵△CDM為等腰直角三角形，易證△EMC≌△FDM，

∴EM＝DF，EC＝MF，

設M（t，t﹣2），則EM＝t，OE＝﹣t+2，

∴CE＝OC﹣OE＝2﹣（﹣t+2）＝t，MF＝t，DF＝t，

EF＝EM+MF＝t+t＝，OE+DF＝﹣t+2+t＝t+2，

∴D（t，﹣t﹣2）

將D（t，﹣t﹣2）代入二次函數的解析式y＝x2﹣x﹣2，

，

解得t＝0（舍去）或t＝，

∴M1（）；

Ⅱ．當CD⊥DM時，過點D作DE⊥y軸于點E，點M作MF∥y軸，交ED的延長線于點F，

∵△CDM為等腰直角三角形，易證△CED≌△DFM，

∴DE＝MF，EC＝DF，

設M（t，t﹣2），則EF＝t，CE＝，DE＝t，MF＝t，OC＝t+2

∴D（t，﹣t﹣2），

將D（t，﹣t﹣2）代入二次函數的解析式y＝x2﹣x﹣2，

，

解得t＝0（舍去）或t＝，

∴M2（，﹣）

綜上，△CDM為等腰直角三角形，點M的坐標為（）或（，﹣）．