Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，且AB=6，點M為⊙O外一點，且MA，MC分別切⊙O于點A、C．點D是兩條線段BC與AM延長線的交點．

（1）求證：DM=AM；

（2）直接回答：

①當CM為何值時，四邊形AOCM是正方形？

②當CM為何值時，△CDM為等邊三角形？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①當CM=OA=3時，四邊形AOCM是正方形；②.

【解析】

（1）根據切線的性質得：MA⊥OA，MC⊥OC，證明△MAO≌△MAO（HL），得MC=MA，根據等邊對等角得：∠2=∠B，由等角的余角相等可得結論；

（2）①直接可得CM=OA=3；

②先根據等邊三角形定義可得：DM=CM，∠D=60°，證明Rt△OCM≌△OAM（HL），得CM=AM=DM，可得結論．

（1）連接OM，如圖1，

∵MA，MC分別切⊙O于點A、C，

∴MA⊥OA，MC⊥OC，

在Rt△MAO和Rt△MCO中，

MO=MO，AO=CO，

∴△MAO≌△MAO（HL），

∴MC=MA，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠B，

又∵∠DCM+∠OCB=90°，∠D+∠B=90°，

∴∠DCM=∠D，

∴DM=MC，

∴DM=MA；

（2）如圖2，

①當CM=OA=3時，四邊形AOCM是正方形；

②連接OM，如圖3，

∵△DCM是等邊三角形，

∴CM=DM，∠D=60°，

∵∠DAB=90°，

∴∠B=30°，

∴∠AOC=2∠B=60°，

∵AB=6，

∴tan∠B=tan30°==，

∴AD=2，

設CM=x，

∵OC=OA，OM=OM，

∴Rt△OCM≌△OAM（HL），

∴CM=AM=DM，

∴CM=AD=