Question

如圖，在菱形ABCD中，過對角線BD上任一點P，作EF∥BC，GH∥AB，下列結論正確的是

 

．（填序號）
①圖中共有3個菱形；
②△BEP≌△BGP；
③四邊形AEPH的面積等于△ABD的面積的一半；
④四邊形AEPH的周長等于四邊形GPFC的周長．

Answer 1

分析：根據菱形的判定判斷①即可；根據菱形性質求出四邊形BEPG是平行四邊形，推出PE=BG，PG=BE，根據全等三角形的判定推出△BEP≌△PGB，即可判斷②；根據三角形面積公式即可判斷③；求出四邊形AEPH、四邊形HPFD、四邊形BEPG、四邊形PFCG是平行四邊形，推出AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG，求出AH=PE=BG=BE=CF=PG，
同理AE=HP=DF=PF=CG，即可判斷④．

解答：解：∵圖中有三個菱形，如菱形ABCD、菱形HOFD、菱形BEPG，∴①正確；
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠ABD=∠CBD，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四邊形BEPG是平行四邊形，
∴PE=BG，PG=BE，
在△BEP和△PGB中，

BE=PG BP=BP PE=BG

∴△BEP≌△PGB（SSS），
∴②正確；
∵只有當H為AD中點，E為AB中點時，四邊形AEPH的面積等于△ABD的面積的一半，∴③錯誤；
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥GH∥CD，
∴四邊形AEPH、四邊形HPFD、四邊形BEPG、四邊形PFCG是平行四邊形，
∴AH=BG=PE，AE=HP=DF，BE=PG=CF，DH=PF=VG，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠EBP=∠GBP，
∵PE∥BG，
∴∠EPB=∠GBP，
∴∠EBP=∠EPB，
∴BE=PE，
∴AH=PE=BG=BE=CF=PG，
同理AE=HP=DF=PF=CG，
∴四邊形AEPH的周長=四邊形GPFC的周長，∴④正確；
故答案為：①②④．

點評：本題考查了菱形的性質和判定，平行四邊形的性質和判定，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力，題目比較好，但是比較容易出錯．