Question

（2012•溫州模擬）如圖，過點B（2，0）的直線l：y=kx+2

3

交y軸于點A，與反比例函數y=

m

x

的圖象交于點C（3，n）．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）將△OBC繞點O逆時針方向旋轉α角（α為銳角），得到△OB′C′．當OC′⊥AB時，求點C運動的路徑長．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法把B（2，0）代入直線ly=kx+2

3

的解析式可以算出k的值，繼而得到直線l的解析式，再把C點坐標代入直線l的解析式可以算出C點坐標，再把C點坐標代入反比例函數y=

m

x

即可得到反比例函數的解析式；
（2）首先根據題意畫出圖形，證明AO=CO，根據等邊對等角可得∠ACO=∠OAC，再利用勾股定理計算出AB的長，繼而得到∠OAC的度數，也就是得到了∠ACO的度數，再由條件OC′⊥AB計算出∠C′OC的度數，再根據弧長公式計算出點C運動的路徑長．

解答：解：（1）∵點B（2，0）在直線l：y=kx+2

3

上，
∴2k+2

3

=0，
∴k=-

3

，
直線l的解析式為：y=-

3

x+2

3

，
∵點C（3，n）在直線y=-

3

x+2

3

上，
∴-

3

×3+2

3

=n，
n=-

3

，
∴C點坐標是（3，-

3

），
∵C（3，-

3

）在反比例函數y=

m

x

的圖象上，
∴m=-3

3

，
∴反比例函數的解析式是：y=-

3 3

x

；

（2）過C點作CE⊥x軸于E，如圖，
∵C點坐標是（3，-

3

），
∴OC=

32+(- 3 )2

=2

3

，
∵點A是直線y=-

3

x+2

3

與y軸交點，
∴AO=2

3

，
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠OAC，
又∵OB=2，
∴AB=

(2 3 )2+22

=4，
∴∠OAB=30°，
∴∠ACO=30°，
∵OC′⊥AB，
∴∠C′OC=60°，
點C的運動路徑的長度=

60π×2 3

180

=

2 3 π

3

．

點評：此題主要考查了利用待定系數法求一次函數、反比例函數關系式，以及旋轉和弧長公式，關鍵是掌握凡是圖象經過的點都能滿足解析式，求出∠C′OC的度數是解決第二問的關鍵．