Question

【題目】已知△ABC為等邊三角形，D為直線AC上一點，延長BC至E，使CE=AD，聯結BD，DE．

（1）如圖（a），當D為邊AC的中點時，求證：△BDE為等腰三角形．

（2）如圖（b），當點D在邊AC上，但不是邊AC的中點時，△BDE還是等腰三角形嗎?如果是，請給予證明；如果不是，說明理由．

（3）當點D在邊AC的延長線上時，在圖（c）中畫出相應的圖形，△BDE還是等腰三角形嗎?請直接寫出結論，不必證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△BDE還是等腰三角形，理由見解析；（3）△BDE還是等腰三角形，見解析.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質得∠ABC＝∠ACB＝60°，由DA＝DC，CE=AD可得CD＝CE，推出∠E＝∠CDE，再利用∠DCB＝∠E＋∠CDE＝60°得到∠E＝30°，根據等邊三角形性質得∠DBC＝∠ABC＝30°，故可得△BDE為等腰三角形；

（2）作DM∥BC交AB于M，根據等邊三角形的性質得∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，則∠DCE＝120°，由DM∥BC得∠AMD＝60°，易得△AMD為等邊三角形，則AD＝DM＝AM，而AD＝CE，則DM＝EC，然后推出MB＝DC，利用“SAS”可判斷△BMD≌△DCE，則BD＝DE，即可得到 △BDE為等腰三角形；

（3）作DM∥BC交AB的延長線于M，易證△AMD為等邊三角形，則AM＝AD＝MD，∠M＝60°，可得到BM＝CD，而AD＝CE，所以MD＝CE，加上∠M＝∠ECD＝60°，于是可根據“SAS”判斷△BMD≌△DCE，則BD＝DE，即可得到 △BDE為等腰三角形.

（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵DA＝DC，CE=AD，

∴CD＝CE，

∴∠E＝∠CDE，

而∠DCB＝∠E＋∠CDE＝60°，

∴∠E＝30°，

∵∠DBC＝∠ABC＝30°，

∴DB＝DE，

∴△BDE為等腰三角形；

（2）△BDE為等腰三角形仍然成立．

理由如下：作DM∥BC交AB于M，如圖2，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，

∴∠DCE＝120°，

∵DM∥BC，

∴∠AMD＝60°，

∴∠BMD＝120°，△AMD為等邊三角形，

∴AD＝DM＝AM，

∵AD＝CE，

∴DM＝EC，

∴ABAM＝ACAD，

∴MB＝DC，

在△BMD和△DCE中

∴△BMD≌△DCE（SAS），

∴BD＝DE，

∴△BDE為等腰三角形；

（3）△BDE還是等腰三角形．

理由如下：

如圖3，作DM∥BC交AB的延長線于M，

易證△AMD為等邊三角形，

∴AM＝AD＝MD，∠M＝60°，

∴AB＝AC，

∴BM＝CD，

∵AD＝CE，

∴MD＝CE，

∵∠ECD＝∠ACB＝60°，

∴∠M＝∠ECD，

在△BMD和△DCE中

∴△BMD≌△DCE（SAS），

∴BD＝DE，

∴△BDE為等腰三角形.