Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B為圓心，1cm為半徑畫圓，點P是⊙B上一個動點，連接AP，并將AP繞點A逆時針旋轉90°至AP'，連接BP'，在點P移動的過程中，BP'長度的取值范圍是_____cm．

Answer 1

【答案】（3-1）cm≤BP≤（3+1）．

【解析】

通過畫圖發現，點P′的運動路線為以D為圓心，以1為半徑的圓，可知：當P′在對角線BD上時，BP′最小，先證明△PAB≌△P′AD，則P′D=PB=1，再利用勾股定理求對角線BD的長，則得出BP′的長．

如圖，當P′在對角線BD上時，BP′最小；當P′在對角線BD的延長線上時，BP′最大．

連接BP，

①當P′在對角線BD上時，

由旋轉得：AP=AP′，∠PAP′=90°，

∴∠PAB+∠BAP′=90°，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAP′+∠DAP′=90°，

∴∠PAB=∠DAP′，

∴△PAB≌△P′AD，

∴P′D=PB=1，

在Rt△ABD中，∵AB=AD=3，

由勾股定理得：BD==3，

∴BP′=BD-P′D=3-1，

即BP′長度的最小值為（3-1）cm．

②當P′在對角線BD的延長線上時，

同理可得BD==3，

∴BP′=BD+P′D=3+1，

即BP′長度的最大值為（3+1）cm．

∴BP'長度的取值范圍是（3-1）cm≤BP≤（3+1）cm

故答案為：（3-1）cm≤BP≤（3+1）．