【題目】如圖,在矩形中,點
是邊
上一點(不與點
重合),點
是
延長線上一點,且
,連接
.
(1)求證:
(2)連接,其中
①當四邊形是菱形時,求線段
與線段
之間的距離;
②若點是
的內心,連接
,直接寫出
的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)①線段與線段
之間的距離為
,②
.
【解析】
(1)根據已知,利用SAS即可證明;
(2)①因為四邊形是菱形,所以AE與DF的距離等于AD與EF之間的距離,即CD為所求,再利用勾股定理即可求解;
②如圖作出輔助線,根據△ABE△DCF(SAS),
的取值范圍即可轉化為在△ABE中進行求解,找到E點在B、C兩點臨界處的∠AED的取值范圍,利用三角形內角和=180
,即可求得.
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AB=DC, ∠B=∠BCD=90,
∴∠B=∠DCF=90,
∵BE=CF,
∴△ABE△DCF(SAS).
(2)解:①∵四邊形AEFD是菱形,
∴ AE與DF的距離等于AD與EF之間的距離,即CD的長,
∵AC=,BC=AD=6,在△ADC中,
∴,
∴線段AE與線段DF之間的距離為.
②∵△ABE△DCF,
∴△DCF的內心即為△ABE的內心,
如圖:作出∠AEB、∠ABE的角平分線BQ、EQ,
則∠BQE=∠CIF, ∠BQE即為所求,
∵∠ABE恒等于90,
∴∠ABE恒等于45
,
∵當點E在點B處時,∠AEB=90,
當點E在點C處時,在Rt△ABE 中,AB=AC,知∠AEB=30
,
∴所以30∠AEB
,
∴15∠AEB
,
∴ ∠ABE+
∠AEB
,
即∠ABE+
∠AEB
,
而∠BQE=180-
∠ABE+
∠AEB,
∴∠BQE
,
即∠BQE
.
即∠CIF
.
故 90∠CIF
.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】二次函數(
是常數,
)的圖象與
軸交于點
和點
(點
在點
的右側),與
軸交于點
,連接
.
(1)用含的代數式表示點
和點
的坐標;
(2)垂直于軸的直線
在點
與點
之間平行移動,且與拋物線和直線
分別交于點
,設點
的橫坐標為
,線段
的長為
.
①當時,求
的值;
②若,則當
為何值時,
取得最大值,并求出這個最大值.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】小明和爸爸周末步行去游泳館游泳,爸爸先出發了一段時間后小明才出發,途中小明在離家米處的報亭休息了一段時間后繼續按原來的速度前往游泳館.爸爸、小明離家的距離
(單位:米),
單位:米)與小明所走時間
(單位:分鐘)之間的函數關系如圖所示,請結合圖象信息解答下列問題:
分別求出爸爸離家的距離
和小明到達報亭前離家的距離
與時間
之間的函數關系式;
求小明在報亭休息了多長時間遇到姍姍來遲的爸爸?
若游泳館離小明家
米,請你通過計算說明誰先到達游泳館?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在我們學習過的數學教科書中,有一個數學活動,其具體操作過程是:
第一步:對折矩形紙片,使
與
重合,得到折痕
,把紙片展開(如圖①);
第二步:再一次折疊紙片,使點落在
上,并使折痕經過點
,得到折痕
,同時得到線段
(如圖②).
如圖②所示建立平面直角坐標系,請解答以下問題:
(Ⅰ)設直線的解析式為
,求
的值;
(Ⅱ)若的延長線與矩形
的邊
交于點
,設矩形的邊
,
;
(i)若,
,求
點的坐標;
(ii)請直接寫出、
應該滿足的條件.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】以△ABC的邊AC為直徑的半圓交AB邊于D點,∠A、∠B、∠C所對邊長為a、b、c,且二次函數y=(a+c)x2-bx+
(c-a)頂點在x軸上,a是方程z2+z-20=0的根.
(1)證明:∠ACB=90°;
(2)若設b=2x,弓形面積S弓形AED=S1,陰影面積為S2,求(S2-S1)與x的函數關系式;
(3)在(2)的條件下,當BD為何值時,(S2-S1)最大?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為矩形,以A為圓心,AD為半徑的弧交AB的延長線于點E,連接BD,若AD=2AB=4,則圖中陰影部分的面積為______.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線分別與
軸、
軸交于點
,拋物線
經過點
,與
軸的另一個交點為
,拋物線的對稱軸
交
于點
.
(1)求拋物線的函數關系式及對稱軸;
(2)若為
軸上一動點,
為
的中點,過點
作
的中垂線,交拋物線于點
,其中
在
的左邊.
①如圖1,若時,求
的長.
②當以點為頂點的三角形是直角三角形時,請直接寫出點
的坐標.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,以AB為直徑的⊙O經過點D,E是⊙O上一點,且∠AED=45°.
(1)試判斷CD與⊙O的位置關系,并證明你的結論;
(2)若⊙O的半徑為3,sin∠ADE=,求AE的值.
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