Question

某工廠現有甲種原料400千克，乙種原料450千克，計劃利用這兩種原料生產A、B兩種產品共60件．已知生產一件A種產品，需用甲種原料9千克、乙種原料5千克，可獲利潤700元；生產一件B種產品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤1200元．
（1）按要求安排A、B兩種產品的生產件數，有哪幾種方案？請你給設計出來；
（2）按（1）中的哪種生產方案獲總利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）設A種產品生產了x件，則B種產品生產件了（60-x）件，根據生產一件A種產品，需用甲種原料9千克、乙種原料5千克；生產一件B種產品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，得到不等式組

9x+4(60-x)≤400 5x+10(60-x)≤450

，解不等式組得到30≤x≤32，則x=30，31，32，易得三種設計方案；
（2）設A種產品生產了x件，獲得的總的利潤為y元，由于生產一件A種產品可獲利潤700元；生產一件B種產品可獲利潤1200元，則有y=700x+（60-x）•1200=-500x+72000，根據一次函數的性質得到當x最小時，y最大，于是把x=30代入計算即可得到最大利潤．

解答：解：（1）設A種產品生產了x件，則B種產品生產件了（60-x）件，
由題意可得：

9x+4(60-x)≤400 5x+10(60-x)≤450

，
解這個不等式組得：30≤x≤32，
∵x是整數，
∴x=30，31，32，
∴有三種設計方案：
方案（1）A種產品生產30件，B種產品生產件30件；
方案（2）A種產品生產31件，B種產品生產件29件；
方案（3）A種產品生產32件，B種產品生產件28件；

（2）設A種產品生產了x件，獲得的總的利潤為y元，
根據題意，得y=700x+（60-x）•1200=-500x+72000，
∵y隨x的增大而減少，
∴當x=30時，y_最大值=57000，
答：當A種產品生產30件，B種產品生產30件時，所獲的利潤最大，最大利潤是57000元．

點評：本題考查了一次函數的實際應用：先根據實際問題列出一次函數關系式以及自變量的取值范圍，然后根據一次函數的性質在取值范圍內確定函數的最大或最小值．也考查了一元一次不等式組的應用．