Question

某公園在一個扇形OEF草坪上的圓心O處垂直于草坪的地上豎一根柱子OA，在A處安裝一個自動噴水裝置．噴頭向外噴水．連噴頭在內，柱高

10

9

m，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，噴出的水流在與D點的水平距離4米處達到最高點B，點B距離地面2米．當噴頭A旋轉120°時，這個草坪可以全被水覆蓋．如圖1所示．
（1）建立適當的坐標系，使A點的坐標為（O，

10

9

），水流的最高點B的坐標為（4，2），求出此坐標系中拋物線水流對應的函數關系式；
（2）求噴水裝置能噴灌的草坪的面積（結果用π表示）；
（3）在扇形OEF的一塊三角形區域地塊△OEF中，現要建造一個矩形GHMN花壇，如圖2的設計方案是使H、G分別在OF、OE上，MN在EF上．設MN=2x，當x取何值時，矩形GHMN花壇的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）利用頂點式求出二次函數解析式即可；
（2）利用y=0時求出圖象與x軸的交點坐標，進而得出扇形的半徑，即可得出S的值；
（3）利用銳角三角函數關系得出MH的長，再利用二次函數最值公式求出即可．

解答：解：（1）根據題意得出：圖象頂點坐標為：（4，2），
故設解析式為：y=a（x-4）²+2，
將（O，

10

9

），代入上式得：

10

9

=a（0-4）²+2，
解得：a=-

1

18

，
∴拋物線水流對應的函數關系式為：y=-

1

18

（x-4）²+2；

（2）當y=0時，
0=-

1

18

（x-4）²+2，
解得：x₁=10，x₂=-2（舍去），
∴扇形半徑為10米，
∴S=

120π×102

360

=

100π

3

（平方米）；

（3）過點O作OA⊥EF于點A，交GH于點B，
∵∠EOF=120°，EO=FO=10，
∴∠OEF=∠OFE=30°，
∴AO=

1

2

FO=5，
設MN=2x，
∴AM=BH=x，
∴BO=

3

3

x，
∴MH=5-

3

3

x，
由題意得出：
S=2x（5-

3

3

x）=-

2 3

3

x²-10x，
當x=-

b

2a

=

5

2

3

時，
S的值最大為：S=

25

2

3

（平方米）．

點評：此題主要考查了二次函數的應用以及扇形面積公式和銳角三角函數的關系等知識，利用數形結合得出對應點的坐標與線段的長是解題關鍵．