Question

如圖，將一塊直角三角板OAB放在平面直角坐標系中，B（2，0），∠AOB=60°，點A在第一象限，過點A的雙曲線為y=

k

x

．在x軸上取一點P，過點P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，線段OB經軸對稱變換后的像是O′B′．
（1）當點O′與點A重合時，求點P的坐標．
（2）設P（t，0），當O′B′與雙曲線有交點時，t的取值范圍是多少？

Answer 1

分析：（1）當點O?與點A重合時，即點O與點A重合，進一步解直角三角形AOB，利用軸對稱的現在解答即可；
（2）求出∠MP′O=30°，得到OM=

1

2

t，OO′=t，過O′作O′N⊥X軸于N，∠OO′N=30°，求出O′的坐標，根據對稱性點P在直線O′B′上，然后利用待定系數法求出直線O′B′的函數解析式，再求出反比例函數的解析式y=

4 3

x

，代入上式整理得出方程關于x的一元二次方程，求出方程的判別式b²-4ac≥0，求出不等式的解集即可．

解答：解：（1）當點O?與點A重合時，
∵∠AOB=60°，過點P作直線OA的垂線l，以直線l為對稱軸，線段OB經軸對稱變換后的像是O?B?．
AP′=OP′，
∴△AOP′是等邊三角形，
∵B（2，0），
∴BO=BP′=2，
∴點P的坐標是（4，0），

（2）∵∠AOB=60°，∠P′MO=90°，
∴∠MP′O=30°，
∴OM=

1

2

t，OO′=t，
過O′作O′N⊥X軸于N，
∠OO′N=30°，
∴ON=

1

2

t，NO′=

3

2

t，
∴O′（

1

2

t，

3

2

t），
根據對稱性可知點P在直線O′B′上，
設直線O′B′的解析式是y=kx+b，代入得

1 2 tk+b= 3 t 2 tk+b=0

，
解得：

k=- 3 b= 3 t

，
∴y=-

3

x+

3

t①，
∵∠ABO=90°，∠AOB=60°，OB=2，
∴OA=4，AB=2

3

，
∴A（2，2

3

）），代入反比例函數的解析式得：k=4

3

，
∴y=

4 3

x

②，
①②聯立得，

3

x²-

3

tx+4

3

=0，
即x²-tx+4=0③，
b²-4ac=t²-4×1×4≥0，
解得：t≥4，t≤-4．
又O′B′=2，根據對稱性得B′點橫坐標是1+

1

2

t，
當點B′為直線與雙曲線的交點時，
由③得，（x-

1

2

t）²-

t 2

4

+4=0，
代入，得（1+

1

2

t-

1

2

t）²-

t 2

4

+4=0，
解得t=±2

5

，
而當線段O′B′與雙曲線有交點時，
t≤2

5

或t≥-2

5

，
綜上所述，t的取值范圍是4≤t≤2

5

或-2

5

≤t≤-4．

點評：本題主要考查了對用待定系數法求一次函數、反比例函數的解析式，勾股定理，解二元一次方程組，解不等式，含30度角的直角三角形的性質，三角形的內角和定理，根的判別式等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，此題是一個拔高的題目，有一定的難度．