Question

【題目】拋物線與軸交于、兩點，與軸交于，點為拋物線上一動點，過點作平行交拋物線于，、兩點間距離為

求的解析式；

取線段中點，連接，當最小時，判斷以點、、、為頂點的四邊形是什么四邊形；

設為軸上一點，在的基礎上，當時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】(1) 直線解析式為(2) 四邊形是菱形，理由見解析；（3）點的坐標為和

【解析】

（1）先求得點A、B、C的坐標，再用待定系數法求出直線BC解析式即可；

（2）根據m最小時，直線PQ和拋物線只有一個交點，設直線解析式由直線PQ和拋物線只有一個交點，聯立解析式可得，根據△=0求得b值，即可求得直線解析式及點P的坐標，再利用兩點間的距離公式得出BM=OP=OM，即可判斷出四邊形POMB是菱形；（3）確定出直線PQ解析式，分點在軸負半軸上和

點在軸正半軸兩種情況求點N的坐標．

∵拋物線與軸交于、兩點，與軸交于，

∴，

令，則，∴或，

∴，，

∴直線解析式為，

四邊形是菱形，

理由：如圖，

∵、兩點間距離為，且最小，即：，此時直線和拋物線只有一個交點，

∵平行，

∴設直線解析式①，

∵②，

聯立①②得，，

∴，∴，

∴直線解析式為，，

∴直線過原點，

∴，

∴，

∵，，取線段中點，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∵，

∴，

∴平行四邊形是菱形；

由知，，，

∴直線解析式為，

∴

①當點在軸負半軸上時，

∵，

∴是的角平分線，

∴，

設，

∵，

∴，，，，

∴，

∴（舍）或，

∴，

②當點在軸正半軸時，由對稱性得出，

即點的坐標為和．