Question

在正實數范圍內，只存在一個數是關于x的方程的解，則實數k的取值范圍是      .

 

Answer 1

【答案】

或或

【解析】

試題分析：先把原方程化為2x²-3x-（k+3）=0，一定是一個一元二次方程，在正實數范圍內，只存在一個數是關于x的方程的解，因而可能方程有兩個相同的實根，求得即可進行判斷；或解方程得到的兩個根中有一個是方程的增根，即x=1是方程2x²-3x-（k+3）=0的解，即可求得方程的另一解，然后進行判斷；或方程有兩個異號得實數根；或其中一根是0，即可求得方程的另一根，進行判斷．因而這個方程中再分四種情況討論：（1）當△=0時；（2）若x=1是方程①的根；（3）當方程①有異號實根時；（4）當方程①有一個根為0時，最后結合題意總結結果即可．

原方程可化為2x²-3x-（k+3）=0，①

（1）當△=0時，，x₁=x₂=滿足條件；

（2）若x=1是方程①的根，得2×1²-3×1-（k+3）=0，k=-4；

此時方程①的另一個根為，故原方程也只有一根x=；

（3）當方程①有異號實根時，x₁x₂=＜0，得k＞-3，此時原方程也只有一個正實數根；

（4）當方程①有一個根為0時，k=-3，另一個根為x=，此時原方程也只有一個正實根．

綜上所述，滿足條件的k的取值范圍是或或

考點：方程解的定義，分式的運算，根與系數的關系，根的判別式，解分式方程

點評：本題綜合性強，難度較大，是中考常見題，一般出現在選擇或填空的最后一題.