Question

如圖，在?ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，連接DE、BF、BD．
（1）求證：△ADE≌△CBF；
（2）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
（3）若AD⊥BD，則四邊形BFDE是什么特殊四邊形？請證明你的結論．

Answer 1

證明：（1）在?ABCD中，AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E、F分別為邊AB、CD的中點，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）由（1）可得BE=DF，
又AB∥CD，
∴BEDF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形；

（3）是菱形．
理由如下：連接EF，在?ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，
∴DFAE，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴EF∥AD，
∵AD⊥BD，
∴EF⊥BD，
又∵四邊形BFDE是平行四邊形，
∴四邊形BFDE是菱形．
分析：（1）根據平行四邊形的對邊相等的性質可以得到AD=BC，AB=CD，又點E、F是AB、CD中點，所以AE=CF，然后利用邊角邊即可證明兩三角形全等；
（2）先證明BE與DF平行且相等，然后根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；
（3）連接EF，可以證明四邊形AEFD是平行四邊形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根據菱形的判定可以得到四邊形是菱形．
點評：本題主要考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定以及菱形的判定，利用好E、F是中點是解題的關鍵．