Question

如圖，將一塊直角三角形紙板的直角頂點放在處，兩直角邊分別與軸平行，紙板的另兩個頂點恰好是直線與雙曲線的交點．

（1）求和的值；

（2）設雙曲線在之間的部分為，讓一把三角尺的直角頂點在上

滑動，兩直角邊始終與坐標軸平行，且與線段交于兩點，請探究是否存在點使得，寫出你的探究過程和結論．

 

Answer 1

【答案】

（1）且（2）不存在，證明見解析

【解析】解：（1）∵在雙曲線上，∥軸，∥軸，

∴A，B的坐標分別，．                ……………………(1分)

又點A，B在直線上，∴     ……………………(2分)

   解得或                           …………………(4分)

當且時，點A，B的坐標都是，不合題意，應舍去；當

且時，點A，B的坐標分別為,,符合題意．

∴且.………………………………………………………………(5分)

（2）假設存在點使得．

∵ ∥軸，∥軸，∴∥，

∴，∴Rt∽Rt,∴,……………(7分)

設點P坐標為（1＜x＜8＝，則M點坐標為，

∴.又，

∴，即　　�。ā�）       ……………………(9分)

∵．∴方程（※）無實數根．

所以不存在點使得．                      …………………(10分)

（1）根據題意可設出A、B兩點的坐標，把A、B兩點的坐標代入直線y=kx+ ，與雙曲線y= （m＞0）可得到關于mk的方程組，求出m、k的值即可．

（2）本題考查的是一次函數及反比例函數圖象上點的坐標特點，根據題意設出A、B兩點的坐標，是解答此題的關鍵．