Question

已知：拋物線y=-x²+2mx-4m-m²（m是常數）與x軸有兩個交點．
（1）當m取最大整數時，求出此拋物線的解析式；
（2）設（1）中所求拋物線頂點為C，拋物線的對稱軸與x軸交于點B，直線y=-x+3與x軸交于點A．點P為拋物線對稱軸上一動點，過點P作PD⊥AC，垂足D在直線AC上．若S_△PAD=

1

4

S_△ABC，求出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）先求出方程有兩實數根時m的值，進而可求得此拋物線的解析式；
（2）先求出A、B、C三點的坐標，分別按照①點D在線段AC上②點D在AC的延長線上③點D在CA的延長線上三種情況時的點P的坐標．

解答：（1）解：∵拋物線與x軸交于兩點，
∴△＞0．即（2m）²+4（-4m-m²）＞0
解得：m＜0
∴m＜0時，拋物線與x軸有兩個交點．
當m取最大的整數時，
∴m=-1．
即y=-x²-2x+3

（2）拋物線頂點C（-1，4），對稱軸與x軸的交點B（-1，0）．
直線y=-x+3與x軸交于點A，
A（3，0）
BA=BC，∠PCD=45°．
①當點D在線段AC上時，設PD=DC=x，
AC=4

2

根據題意，得

1

2

(4

2

-x)•x=

1

4

×

1

2

×4×4
解得，x=2

2

±2
當x=2

2

+2時，PC=

2

x=4+2

2

．
P（-1，-2

2

）
當x=2

2

-2時，PC=4-2

2

，
P（-1，2

2

）
②當點D在AC的延長線上時，設PD=DC=x，
根據題意，得

1

2

(4

2

+x)•x=

1

4

×

1

2

×4×4
解得，x=-2

2

±2

3

．
當x=-2

2

-2

3

＜0，舍去．
當x=-2

2

+2

3

時，PC=

2

x=-4+2

6

，
P（-1，2

6

）
③當點D在CA的延長線上時，設PD=DC=x，
根據題意，得

1

2

(x-4

2

)x=

1

4

×

1

2

×4×4．
解得，x=2

2

±2

3

．
當x=2

2

-2

3

＜0，舍去．
當x=2

2

+2

3

時，PC=

2

x=4+2

6

．
P（-1，-2

6

）、P（-1，-2

2

）、P（-1，2

2

）、P（-1，2

6

）、P（-1，-2

6

）．

點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和動點問題等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合和分類討論等數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．