Question

方程

1

x

+

1

y

=

1

2002

的正整數解構成的有序數組（x，y）共有

 

組．

Answer 1

分析：首先將原方程變形求解，可得：2002（x+y）=xy，繼而可得（x-2002）（y-2002）=2002²，即可得x-2002與y-2002必都是2002²的正約數，又由2002²=2²×7²×11²×13²，即可求得答案．

解答：解：∵

1

x

+

1

y

=

1

2002

，
去分母得：2002（x+y）=xy，
∴（x-2002）（y-2002）=2002²，
又∵x與y是正整數，
∴x-2002，y-2002都是整數，切都大于-2002，
∵現在兩整數之積為2002²，
∴這兩整數為同號，且至少有一個的絕對值不小于2002，
∴x-2002與y-2002必都是2002²的正約數，
∴方程

1

x

+

1

y

=

1

2002

的正整數解（x，y）可寫成（2002+d，2002+

20022

d

），這里d為2002²的正約數，
∵2002²=2²×7²×11²×13²，
∴2002²的正約數有3⁴=81個，
∴方程

1

x

+

1

y

=

1

2002

的正整數解構成的有序數組（x，y）共有81組．
故答案為：81．

點評：此題考查了非一次不定方程的知識．注意首先根據題意得到（x-2002）（y-2002）=2002²，然后將2002²分解質因數是解此題的關鍵．