Question

如圖所示：一幅三角板如圖放置，等腰直角三角板ABC固定不動，另一塊三角板的直角頂點放在等腰直角三角形的斜邊中點O 處，且可以繞點O旋轉，在旋轉過程中，兩直角邊的交點G、H始終在邊AB、BC上．
（1）在旋轉過程中線段BG和CH大小有何關系？證明你的結論．
（2）若AB=BC=4cm，在旋轉過程中四邊形GBHO的面積是否改變？若不變，求出它的值；若改變，求出它的取值范圍．
（3）若交點G、H分別在邊AB、BC的延長線上，則（1）中的結論仍然成立嗎？請畫出相應的圖形，直接寫出結論．

Answer 1

解：（1）BG和CH為相等關系，
如圖1，連接BD，
∵等腰直角三角形ABC，D為AC的中點，
∴DB=DC=DA，∠A=∠DBH=45°，BD⊥AC，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADG+∠GDB=90°，
∴∠BDG+∠BDH=90°，
∴∠ADG=∠HDB，
∴在△ADG和△BDH中，
，
∴△ADG≌△BDH（ASA），
∴AG=BH，
∵AB=BC，
∴BG=HC，

（2）∵等腰直角三角形ABC，D為AC的中點，
∴DB=DC=DA，∠DBG=∠DCH=45°，BD⊥AC，
∵∠GDH=90°，
∴∠GDB+∠BDH=90°，
∴∠CDH+∠BDH=90°，
∴∠BDG=∠HDC，
∴在△BDG和△CDH中，
，
∵△BDG≌△CDH（ASA），
∴S_{四邊形DGBH}=S_△BDH+S_△GDB=S_△ABD，
∵DA=DC=DB，BD⊥AC，
∴S_△ABD=S_△ABC，
∴S_{四邊形DGBH}=S_△ABC=4cm²，
∴在旋轉過程中四邊形GBHD的面積不變，

（3）當三角板DEF旋轉至圖2所示時，（1）的結論仍然成立，
如圖2，連接BD，
∵BD⊥AC，AB⊥BH，ED⊥DF，
∴∠BDG=90°-∠CDG，∠CDH=90°-∠CDG，
∴∠BDG=∠CDH，
∵等腰直角三角形ABC，
∴∠DBC=∠BCD=45°，
∴∠DBG=∠DCH=135°，
∴在△DBG和△DCH中，
，
∴△DBG≌△DCH（ASA），
∴BG=CH．

分析：（1）連接BD，根據等腰直角三角形的性質，得，DB=DC=DA，∠DBG=∠DCH=45°，BD⊥AC，由∠ADG+∠HDC=90°，∠BDG+∠ADG=90°，推出∠BDG=∠HDC后，結合DB=DC，即可推出△BDG≌△CDH，根據全等三角形的性質可得BG=CH；
（2）首先根據題意求出S_△ABC=8cm²，然后通過求證△BDH≌△ADG，由（1）的結論，即可推出S_{四邊形DGBH}=S_△BDH+S_△GDB=S_△ABD，再根據DA=DC=DB，BD⊥AC，推出S_△ABD=S_△ABC，即得，S_{四邊形DGBH}=S_△ABC=4cm²，便可確定在旋轉過程中四邊形GBHD的面積不變；
（3）連接BD后，首先通過余角的性質推出∠BDG=∠CDH，再根據∠DBC=∠BCD=45°，推出∠DBG=∠DCH=135°，即可推出△DBG和△DCH，便可得BG=CH．
點評：本題主要考查等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定及性質、三角形的面積公式、余角的性質等知識點，關鍵在于根據圖形正確的畫出輔助線，利用相關的性質定理求證三角形全等．