Question

已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以點A為圓心，r為半徑作⊙A，
（1）當半徑r為______時，⊙A與BC相切；
（2）當半徑r為______時，⊙A與BD相切；
（3）當半徑r的范圍為______時，⊙A與直線BC相交且與直線CD相離．

Answer 1

解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠B=∠D=90°，
∴AB⊥BC，AD⊥DC，
（1）∵圓心A到BC邊的距離為AB=3，⊙A與BC相切，
∴r=AB=3，
則當半徑r為3時，⊙A與BC相切；

（2）連接BD，過A作AE⊥BD，交BD于點E，
∵在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，
∴BD==5，
又S_△ABD=BD•AE=AB•AD，
∴圓心A到BD邊的距離AE==2.4，又⊙A與BC相切，
∴r=AE=2.4，
則當半徑r為2.4時，⊙A與BD相切；
（3）∵⊙A與直線BC相交，圓心A到BC邊的距離為AB=3，
∴r＞3，
又⊙A與直線CD相離，圓心A到BC邊的距離為AD=4，
∴r＜4，
則當半徑r的范圍為3＜r＜4時，⊙A與直線BC相交且與直線CD相離．
故答案為：3；2.4；3＜r＜4
分析：由四邊形ABCD為矩形，得到四個內角為直角，根據垂直的定義得到AB垂直于BC，AD垂直于DC，
（1）由圓A與BC相切，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，因為AB為圓心A到BC的距離，所以圓A的半徑等于AB，進而得到圓A與BC相切時半徑的值；
（2）連接BD，過A作AE垂直于BD，AE為A到BD的距離，由圓A與BD相切，得到圓心A到BD的距離等于圓的半徑，由三角形ABD為直角三角形，由AB及AD的長，利用勾股定理求出BD的長，根據AB，AD及BD的值，利用三角形的面積兩種求法求出AE的長，得出圓心A到BD的距離，即為圓A與BD相切時圓的半徑；
（3）由圓A與直線BC相交，得到圓心到直線的距離小于圓的半徑，即r大于AB，再由圓A與直線CD相離，得到圓心到直線的距離大于圓的半徑，即r小于AD，由AB及AD的長，可得出滿足題意r的范圍．
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：矩形的性質，勾股定理，以及切線的性質，直線與圓的位置關系可以用d與r的大小關系來判定，當d＜r時，直線與圓相交；當d=r時，直線與圓相切；當d＞r時，直線與圓相離．