Question

【題目】已知拋物線.

（1）當，時，求拋物線與軸的交點個數；

（2）當時，判斷拋物線的頂點能否落在第四象限，并說明理由；

（3）當時，過點的拋物線中，將其中兩條拋物線的頂點分別記為，，若點，的橫坐標分別是，，且點在第三象限.以線段為直徑作圓，設該圓的面積為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）拋物線與軸有兩個交點；（2）拋物線的頂點不會落在第四象限，理由詳見解析；（3）.

【解析】

（1）將，代入解析式，然后求當y=0時，一元二次方程根的情況，從而求解；（2）首先利用配方法求出頂點坐標，解法一：假設頂點在第四象限，根據第四象限點的坐標特點列不等式組求解；解法二：設，，則，分析一次函數圖像所經過的象限，從而求解；（3）將點代入拋物線，求得a的值，然后求得拋物線解析式及頂點坐標，分別表示出A，B兩點坐標，并根據點A位于第三象限求得t的取值范圍，利用勾股定理求得的函數解析式，從而求解.

解：（1）依題意，將，代入解析式

得拋物線的解析式為.

令，得，，

∴拋物線與軸有兩個交點.

（2）拋物線的頂點不會落在第四象限.

依題意，得拋物線的解析式為，

∴頂點坐標為.

解法一：不妨假設頂點坐標在第四象限，

則，解得.

∴該不等式組無解，

∴假設不成立，即此時拋物線的頂點不會落在第四象限.

解法二：設，，則，

∴該拋物線的頂點在直線上運動，而該直線不經過第四象限，

∴拋物線的頂點不會落在第四象限.

（3）將點代入拋物線：，

得，

化簡，得.

∵，∴，即，

∴此時，拋物線的解析式為，

∴頂點坐標為.

當時，，∴.

當時，，∴.

∵點在第三象限，∴

∴.

又，，

∴點在點的右上方，

∴.

∵，

∴當時，隨的增大而增大，

∴.

又.

∵,

∴隨的增大而增大，

∴.