Question

用兩個全等的等邊△ABC和△ACD拼成如圖的菱形ABCD．現把一個含60°角的三角板與這個菱形疊合，使三角板的60°角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB、AC重合．將三角板繞點A逆時針方向旋轉．
（1）當三角板的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點E、F時（圖a），
①猜想BE與CF的數量關系是______；
②證明你猜想的結論．
（2）當三角板的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD的延長線相交于點E、F時（圖b），連接EF，判斷△AEF的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）①BE=CF；
②∵菱形ABCD由等邊△ABC和△ACD拼成，
∴AB=AC，∠B=∠CAB=∠ACD=60°，
而∠FAE=60°，
∴∠BAE=60°-∠CAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中
∵
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF；

（2）△AEF為等邊三角形．
理由如下：連EF，
∵菱形ABCD由等邊△ABC和△ACD拼成，
∴AC=AD，∠ACB=∠ADC=∠CAD=60°，
∴∠ACE=120°，∠ADF=120°，
∴∠ACE=∠ADF，
而∠FAE=60°，
∴∠CAE=60°-∠DAE=∠DAF，
在△ACE和△ADF中
∵
∴△ACE≌△ADF，
∴AE=AF，
∴△AEF為等邊三角形．
分析：（1）①BE=CF；②由于菱形ABCD由等邊△ABC和△ACD拼成，根據等邊三角形的性質得到AB=AC，∠B=∠CAB=∠ACD=60°，而∠FAE=60°，得到∠BAE=60°-∠CAE=∠CAF，根據全等三角形的判定方法易得△BAE≌△CAF，即可得到BE=CF；
（2）由于菱形ABCD由等邊△ABC和△ACD拼成，根據等邊三角形的性質得到AC=AD，∠ACB=∠ADC=∠CAD=60°，則∠ACE=120°，∠ADF=120°，得到∠ACE=∠ADF，
而∠FAE=60°，得到∠CAE=60°-∠DAE=∠DAF，根據全等三角形的判定方法易得△ACE≌△ADF，則AE=AF，根據等邊三角形的判定方法即可得到△AEF為等邊三角形．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質．