Question

10．浩然文具店新到一種計算器，進價為25元，營銷時發現：當銷售單價定為30元時，每天的銷售量為150件，若銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就會減少10件．
（1）寫出商店銷售這種計算器，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；
（2）求銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大值是多少？
（3）商店的營銷部結合上述情況，提出了A、B兩種營銷方案：
方案A：為了讓利學生，該計算器的銷售利潤不超過進價的24%；
方案B：為了滿足市場需要，每天的銷售量不少于120件．
請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據利潤=（單價-進價）×銷售量，列出函數關系式即可；
（2）根據（1）式列出的函數關系式，運用配方法求最大值；
（3）分別求出方案A、B中x的取值，然后分別求出A、B方案的最大利潤，然后進行比較．

解答 解：（1）由題意得，銷售量=150-10（x-30）=-10x+450，
則w=（x-25）（-10x+450）
=-10x²+700x-11250；

（2）w=-10x²+700x-11250=-10（x-35）²+1000，
∵-10＜0，
∴函數圖象開口向下，w有最大值，
當x=35時，w_最大=1000元，
故當單價為35元時，該計算器每天的利潤最大；

（3）B方案利潤高．理由如下：
A方案中：∵25×24%=6，
此時w_A=6×（150-10）=840元，
B方案中：每天的銷售量為120件，單價為33元，
∴最大利潤是120×（33-25）=960元，
此時w_B=960元，
∵w_B＞w_A，
∴B方案利潤更高．

點評 本題考查了二次函數的應用，難度較大，最大銷售利潤的問題常利用函數的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然后結合實際選擇最優方案．其中要注意應該在自變量的取值范圍內求最大值（或最小值），也就是說二次函數的最值不一定在x=-$\frac{2a}$時取得．