【題目】如圖1,A,B分別在射線OM,ON上,且∠MON為鈍角,現以線段OA,OB為斜邊向∠MON的外側作等腰直角三角形,分別是△OAP,△OBQ,點C,D,E分別是OA,OB,AB的中點.
(1)求證:四邊形OCED為平行四邊形;
(2)求證:△PCE≌△EDQ
(3)如圖2,延長PC,QD交于點R.若∠MON=150°,求證:△ABR為等邊三角形。
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)證明見解析
【解析】
(1)利用兩邊平行且相等證明即可
(2)根據等腰直角三角形的性質、平行四邊形的性質得到∠PCE=∠EDQ,根據邊角邊公理證明即可;
(3)連結RO,根據線段垂直平分線的判定定理和性質定理得到AR=OR=BR,根據等邊三角形的判定定理證明即可.
(1)∵C是AO中點,E是AB中點
∴CE平行且等于AB
∵OD=AB,
∴CE平行且等于OD,
∴四邊形OCED為平行四邊形
(2)證明:∵△OAP是等腰直角三角形,且點C是OA的中點,
∴△PCA和△PCO都是等腰直角三角形,
∴PC=AC=OC,∠PCO=90°
同理:QD=OD=BD,∠QDO=90°
∵四邊形CODE是平行四邊形
∴CE=OD,ED=OC,
∴ED=PC,QD=CE
∵CE∥ON.DE∥OM,
∴∠ACE=∠AOD,∠BDE=∠AOD
∴∠ACE=∠BDE
∴∠OCE=∠ODE,
∴∠OCE+∠PCO=∠ODE+∠QDO
即∠PCE=∠EDQ
在△PCE與△EDQ中
∴△PCE≌△EDQ;
(3)連結RO,
∵△OAP和△OBQ均為等腰直角三角形,點C.D分別是OA、OB的中點
∴PR與QR分別是OA,OB的垂直平分線
∴AR=OR=BR
∴∠ARC=∠ORC,∠ORD=∠BRD
∵∠RCO=∠RDO=90°,∠COD=150°
∴∠CRD=30°
∴.∠ARB=60°
∴△ARB是等邊三角形。
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【題目】在初中階段的函數學習中,我們經歷了“確定函數的表達式——利用函數圖象研究其性質一一運用函數解決問題"的學習過程.在畫函數圖象時,我們通過描點或平移的方法畫出了所學的函數圖象.同時,我們也學習了絕對值的意義.結合上面經歷的學習過程,現在來解決下面的問題在函數
中,當
時,
當
時,
(1)求這個函數的表達式;
(2)在給出的平面直角坐標系中,請用你喜歡的方法畫出這個函數的圖象井并寫出這個函數的一條性質;
(3)已知函的圖象如圖所示,結合你所畫的函數圖象,直接寫出不等式
的解集.
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【題目】已知△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D為平面內的任意一點,且滿足CD=AC,若△ADB是以AD為腰的等腰三角形,則∠CDB的度數為_____.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2-2ax-3a(a≠0)頂點為P,且該拋物線與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側).我們規定:拋物線與x軸圍成的封閉區域稱為“G區域”(不包含邊界);橫、縱坐標都是整數的點稱為整點.
(1)求拋物線y=ax2-2ax-3a頂點P的坐標(用含a的代數式表示);
(2)如果拋物線y=ax2-3ax-3a經過(1,3).
①求a的值;
②在①的條件下,直接寫出“G區域”內整點的個數.
(3)如果拋物線y=ax2-2ax-3a在“G區域”內有4個整點,直接寫出a的取值范圍.
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【題目】如圖,已知直角三角形ACB,AC=3,BC=4,過直角頂點C作CA1⊥AB,垂足為A1,再過A1作A1C1⊥BC,垂足為C1;過CA1作C1A2⊥AB,垂足為A2,再過A2作A2C2⊥BC,垂足為C2;…,這樣一直做下去,得到一組線段A1C1,C2A2,…,則線段AnCn=___.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是AD邊上的中點,BE⊥AC于F,連接DF,下列4個結論:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD=,其中結論正確的序號是______.
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【題目】已知四邊形ABCD是正方形,等腰直角△AEF的直角頂點E在BC上,(不與B、C重合),FM⊥AD,交射線AD于點M.
(1)如圖1,當點E在邊BC的延長線上,點M在邊AD上時,請直接寫出線段AB,BE,AM之間的數量關系,不需要證明.
(2)如圖2,當點E在邊BC上,點M在邊AD的延長線上時,請寫出線段AB,BE,AM之間的數量關系,并且證明你的結論.
(3)如圖3,當點E在邊CB的延長線上,點M在邊AD上時,若BE=,∠AFM=15°,求AM的長度.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,二次函數的圖象交x軸于點A,B(點A在點B的左側).
(1)求點A,B的坐標,并根據該函數圖象寫出y≥0時x的取值范圍;
(2)把點B向上平移m個單位得點B1.若點B1向左平移n個單位,將與該二次函數圖象上的點B2重合;若點B1向左平移(n+6)個單位,將與該二次函數圖象上的點B3重合.已知m>0,n>0,求m,n的值.
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【題目】某水產養殖大戶為了更好地發揮技術優勢,一次性收購了20000kg淡水魚,計劃養殖一段時間后再出售.已知每天放養的費用相同,放養10天的總成本為30.4萬元;放養20天的總成本為30.8萬元(總成本=放養總費用+收購成本).
(1)設每天的放養費用是a萬元,收購成本為b萬元,求a和b的值;
(2)設這批淡水魚放養t天后的質量為m(kg),銷售單價為y元/kg.根據以往經驗可知:m與t的函數關系為;y與t的函數關系如圖所示.
①分別求出當0≤t≤50和50<t≤100時,y與t的函數關系式;
②設將這批淡水魚放養t天后一次性出售所得利潤為W元,求當t為何值時,W最大?并求出最大值.(利潤=銷售總額-總成本)
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