Question

如圖，已知：E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，連接CD，且交OE于點F．
（1）求證：OE是CD的垂直平分線．
（2）若∠AOB＝60º，請你探究OE，EF之間有什么數量關系？并證明你的結論．

Answer 1

（1）見解析；（2）OE＝4EF

解析試題分析：（1）先根據角平分線的性質得到ED＝EC，再結合公共邊OE即可證得Rt△OED≌Rt△OEC，從而證得結論；
（2）由Rt△OED≌Rt△OEC結合∠AOB＝60º，含30º角的直角三角形的性質即可得到結果.
(1)∵E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA
∴ED＝EC
∵OE＝OE
∴Rt△OED≌Rt△OEC
∴OC＝OD
∵OE平分∠AOB
∴OE是CD的垂直平分線；
（2）∵OE平分∠AOB，∠AOB＝60º，
∴∠AOE＝∠BOE＝30º
∵ED⊥OA
∴OE＝2DE
∵∠EFD＝90º，∠DEO＝90º－∠DOE＝90º－30º＝60º
∴∠EDF＝30º
∴DE＝2EF
∴OE＝4EF．
考點：本題考查的是角平分線的性質，垂直平分線的判定，含30º角的直角三角形的性質
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等；到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；30º角所對的直角邊等于斜邊的一半.