Question

八（1）班同學上數學活動課，利用角尺平分一個角（如圖）.

設計了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一個任意角，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線.
（Ⅱ）∠AOB是一個任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM=PN，過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線.
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，請證明；若不可行，請說明理由.
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情況下，繼續移動角尺，同時使PM⊥OA，PN⊥OB.此方案是否可行？請說明理由.

Answer 1

解：（1）方案（Ⅰ）不可行.缺少證明三角形全等的條件.
方案（Ⅱ）可行.
證明：在△OPM和△OPN中

∴△OPM≌△OPN(SSS)
∴∠AOP=∠BOP(全等三角形對應角相等)
（2）當∠AOB是直角時，此方案可行.
∵四邊形內角和為360°，
又若PM⊥OA,PN⊥OB，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，
∴∠AOB=90°
∵若PM⊥OA，PN⊥OB，且PM=PN
∴OP為∠AOB的平分線.(到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上)
當∠AOB不為直角時，此方案不可行.