Question

給出用線段長為2，4為邊構成凸四邊形以下4種．

	問題1	問題2	問題3	問題4
條件	AB=4，BC=2，CD=4，DA=2	AB=4，BC=2，CD=2，DA=4	AB=4，BC=2，CD=2，DA=2	AB=4，BC=4，CD=2，DA=4
圖形

（1）①當∠A=60°時，直接寫出問題1，3中四邊形ABCD的面積？
②在問題2中，∠A能否等于60°？說明理由．
③在問題4中，當∠A=60°時，求四邊形ABCD的面積？
（2）①在4個問題的條件中，分別寫出他們4個數據的極差
②在4個問題中，分別寫出他們四個數據的方差？
（3）有2組數據：（Ⅰ）a  a  a  3（Ⅱ）a  3  3  3，請比較這2組數據的方差的大��？

Answer 1

分析：（1）①過D作DE⊥AB于E，求出∠ADE=30°，求出高DE，根據平行四邊形的面積公式求出即可．求出四邊形是等腰梯形，求出梯形的高，根據面積公式求出即可．
②連接BD，得出等邊三角形ABD，求出BD=CD+BC，根據三角形三邊關系定理判斷即可．
③連接BD，過B作BH⊥DC于H，過D作DE⊥AB于E，分別求出△ABD和△BDC的面積，即可求出答案．
（2）①根據極差定義求出即可．
②先求出數據的平均數，再根據方差公式求出即可．
（3）先求出數據的平均數，再根據方差公式求出即可．

解答：解：（1）①
過D作DE⊥AB于E，
則∠DEA=90°，
∵∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∵AD=2，
∴AE=

1

2

AD=1，
∴由勾股定理得：DE=

3

，
∵AD=BC=2，AB=DC=4，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD的面積是AB×DE=4

3

；

如圖，

在AB上取一點F，使AD=DF=2，過D作過D作DE⊥AB于E，
則DE=

3

，
∵AD=DF，∠A=60°
∴△ADF是等邊三角形，
∴AF=AD=2，DF=AD=BC=2，
∵AB=4，
∴BF=4-2=2=DC，
∴四邊形DFBC是平行四邊形，
∴DC∥AB，
即四邊形ADCB是等腰梯形，
∴四邊形ABCD的面積是

1

2

（DC+AB）×DE=

1

2

×（2+4）×

3

=3

3

；
②
在問題2中，∠A不能等于60°，
理由是：如圖，連接BD，
∵AB=4，DA=4，當∠A=60°時，△ABD是等邊三角形，
∴BD=AB=4=2+2=DC+BC，不符合三角形三邊關系定理，
即在問題2中，∠A不能等于60°．

③
如圖，連接BD，過B作BH⊥DC于H，過D作DE⊥AB于E，
則∠AED=90°，
∵∠A=60°，AB=AD=4，
∴∠ADE=30°，
∴DE=AD•cos60°=2

3

，
∵AB=AD=4，∠A=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴BD=4=BC，
∵BH⊥DC，
∴CH=DH=

1

2

DC=

1

2

×2=1，
在△BHD中，有勾股定理得：BH=

42-12

=

15

，
∴四邊形ABCD的面積S=S_△ADB+S_△BDC=

1

2

×4×2

3

+

1

2

×2×

15

=4

3

+

15

．

（2）①4組數據的極差都是4-2=4．
②∵問題1，數據是4、4、2、2，
∴平均數是

1

4

×（4+4+2+2）=3，
∴（4-3）²+（4-3）²+（2-3）²+（2-3）²=4，
方差是S₁²=

1

4

×4=1，
同理：問題2的方差是1，
問題3，∵數據數據是4、2、2、2，
∴平均數是

1

4

×（4+2+2+2）=2.5，
∴（4-2.5）²+（2-2.5）²+（2-2.5）²+（2-2.5）²=3，
方差是S₃²=

1

4

×3=0.75，
問題4，∵數據是4、4、，4、2，
∴平均數是

1

4

×（4+4+4+2）=3.5，
∴（4-3.5）²+（4-3.5）²+（4-3.5）²+（2-3.5）²=3，
方差是S₄²=

1

4

×3=0.75，
即4組數據的方差依次為1，1，0.75，0.75．

（3）（I）∵a  a  a  3，
∴平均數是

1

4

（a+a+a+3）=

3a+3

4

，
∴（a-

3a+3

4

）²+（a-

3a+3

4

）²+（a-

3a+3

4

）²+（3-

3a+3

4

）²=

3(a-3)2

4

，
方差是=

1

4

×

3(a-3)2

4

=3×（

a-3

4

）²，

（Ⅱ）a  3  3  3，
∴平均數是

1

4

（a+3+3+3）=

a+9

4

，
∴（a-

a+9

4

）²+（3-

a+9

4

）²+（3-

a+9

4

）²+（3-

a+9

3

）²=

3(a-3)2

4

，
方差是=

1

4

×

3(a-3)2

4

=3×（

a-3

4

）²，
即2組數據的方差相等．

點評：本題考查了方差，極差，等腰梯形的性質和判定，平行四邊形的性質和判定，等邊三角形的性質和判定，解直角三角形，勾股定理等知識點的綜合運用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．