Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，O是對角線BD的中點，點P在邊AB上，連接PO并延長交邊CD于點E，交邊BC的延長線于點Q．
（1）求證：OP=OE；
（2）設BP=x，CQ=y，求y與x的函數解析式，并求出自變量的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據OB=OD，可證△OBP≌△ODE，從而證明OP=OE；
（2）由AB∥CD，可得△QEC∽△QPB，得

EC

PB

=

QC

QB

，即

4-x

x

=

y

y+3

，從而求出x、y的關系式．

解答：（1）證明：∵AB∥CD，
∴∠PBO=∠EDO，
∵OB=OD，∠POB=∠EOD，
∴△OBP≌△ODE（ASA），
∴OP=OE；

（2）解：∵AB∥CD，
∴

EC

PB

=

QC

QB

，即

4-x

x

=

y

y+3

，
∴y=

3x-12

4-2x

，
自變量的取值范圍0＜x＜4，且x≠2．

點評：本題考查了三角形全等的證明方法以及相似三角形的判定和性質，與函數問題的綜合題目，難度較大．