Question

【題目】已知平面圖形S，點P、Q是S上任意兩點，我們把線段PQ的長度的最大值稱為平面圖形S的“寬距”．例如，正方形的寬距等于它的對角線的長度．

（1）寫出下列圖形的寬距：

①半徑為1的圓：　 　；

②如圖1，上方是半徑為1的半圓，下方是正方形的三條邊的“窗戶形“：　 　；

（2）如圖2，在平面直角坐標系中，已知點A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐標平面內的點，連接AB、BC、CA所形成的圖形為S，記S的寬距為d．

①若d＝2，求點C所在的區域的面積；

②若點C在⊙M上運動，⊙M的半徑為1，圓心M在過點（0，2）且與y軸垂直的直線上．對于⊙M上任意點C，都有5≤d≤8，直接寫出圓心M的橫坐標x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2；②1+；（2）①π；②，．

【解析】

（1）①根據平面圖形S的寬距定義可直接得出答案；②正方形ABCD的邊長為2，設半圓的圓心為O，點P是⊙O上一點，連接OP，PC，OC，根據勾股定理可求出OC，從而得到答案；

（2）①如圖2-1，點C所在的區域是圖中，面積為；②如圖2-2，當點M在y軸的右側時，連接AM，作MT⊥x軸于T，求出d的值，即可判斷，再根據對稱性求出點M在y軸左側的情形即可.

解：（1）①半徑為1的圓的寬距離為2，

故答案為2．

②如圖1，正方形ABCD的邊長為2，設半圓的圓心為O，點P是⊙O上一點，連接OP，PC，OC．

在Rt△ODC中，

∴OP+OC≥PC，

∴，

∴這個“窗戶形“的寬距為．

故答案為1+．

（2）①如圖2﹣1中，點C所在的區域是以AB為直徑的圓，因為點A（﹣1，0）、B（1，0），所以此圓的半徑為1，所以面積為π．

②如圖2﹣2中，當點M在y軸的右側時，連接AM，作MT⊥x軸于T．

∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，

∴當d＝5時．AM＝5-1=4，MT=2

∴，此時，

當d＝8時．AM＝8-1=7，MT=2

∴，此時，

∴滿足條件的點M的橫坐標的范圍為．

當點M在y軸的左側時，滿足條件的點M的橫坐標的范圍為．

故答案為，.