Question

設拋物線C的解析式為：y=x²-2kx+（+k）k，k為實數．
（1）求拋物線的頂點坐標和對稱軸方程（用k表示）；
（2）任意給定k的三個不同實數值，請寫出三個對應的頂點坐標；試說明當k變化時，拋物線C的頂點在一條定直線L上，求出直線L的解析式并畫出圖象；
（3）在第一象限有任意兩圓O₁、O₂相外切，且都與x軸和（2）中的直線L相切．設兩圓在x軸上的切點分別為A、B（OA＜OB），試問：是否為一定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；
（4）已知一直線L₁與拋物線C中任意一條都相截，且截得的線段長都為6，求這條直線的解析式．

Answer 1

解：（1）對稱軸方程x=-=k，
==k，
∴頂點（k，k），對稱軸方程x=k．

（2）①k=1時，函數的頂點坐標為（1，）；
②k=2時，函數的頂點坐標為（2，2）；
③k=3時，函數的頂點坐標為（3，3）．
得出L：y=x，畫出圖象．

（3）依題意作出下圖：
在L：y=x上取一點（1，）可得tan∠DOA=，
即∠DOA=60°，
又O₁O₂在∠DOA的平分線上
∴∠AOO₁=∠HO₁O₂=30°，
設⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為r₁、r₂，
由Rt△AOO₁∽Rt△HO₁O₂有==，
在Rt△O₁HO₂中，由sin30°=，
得r₂=3r₁，
把（2）代入（1）
得：=，即為定值．

（4）由題意，作圖探索可知：
直線L₁應與L平行，即L₁與x軸正半軸的夾角為60°，從而可設L₁與y軸的交點坐標為（0，b），則與x軸的交點坐標為（-b，0），
故L₁的方程為y=x+b，
又由題意可設k=0得C中的一條拋物線y=x²，
設L₁與y=x²相交于點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MP⊥PN（如圖），
聯立，
得x²-x-b=0，
由韋達定理：x₁+x₂=，x₁x₂=-b，
則|x₁-x₂|===|MP|，
在Rt△MPN中，∠NMP=60°，
則cos60°=，
解得b=，
∴求得的L₁的解析式為：y=x+．
分析：（1）根據拋物線對稱軸和頂點的公式即可得出本題的結論．
（2）根據（1）得出的頂點坐標（k，k），可得出無論k取什么值，橫坐標和縱坐標的比例關系是不變的，因此拋物線的頂點在正比例函數的圖象上，且斜率為．
（3）不難得出OA：OB正好是兩圓的半徑比，因此可通過求兩圓半徑的比例關系來求OA，OB的比例關系，如圖，過O₁作O₂B的垂線，那么O₂H就是兩圓的半徑差，O₁O₂是兩圓的半徑和，可根據∠O₂O₁H的度數求出兩圓的半徑的比例關系，即可得出OA，OB的比例關系．
（4）由于直線l₁截的線段都相等，因此它必與（2）中求出的正比例的解析式平行，即斜率相等，要求直線l₁的解析式，需知道拋物線與y軸的交點坐標即b的值．為了簡便，可設直線l₁與拋物線y=x²相交（原拋物線中k=0），可聯立兩函數式，可得出一個一元二次方程，方程的解即為兩交點的橫坐標，然后根據根與系數的關系，用b表示出兩橫坐標的和與積，進而可表示出兩點的水平距離．然后根據直線與x軸的夾角的度數和兩點的距離（已知了距離為6），可求出b的值，即可確定出直線l₁的解析式．
點評：本題主要考查了二次函數的應用、相似三角形的判定和性質以及一元二次方程根與系數的關系（即韋達定理）．