Question

【題目】已知：如圖，、都是等腰三角形，且，，，、相交于點，點、分別是線段、的中點.以下個結論：①；②；③是等邊三角形；④連，則平分.正確的是( )

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根據∠ACB=∠DCE求出∠ACD=∠BCE,證出即可得出結論，故可判斷；

②根據全等求出∠CAD=∠CBE,根據三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通過等角代換能夠得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根據三角形內角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB，故可判斷；

③根據已知條件可求出AM=BN,根據SAS可求出,推出CM=CN，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判斷的形狀；

④在AD上取一點P使得DP=EO,連接CP，根據，可求出∠CEO=∠CDP,根據SAS可求出 ,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,進而得到 ∠COP=∠COE，故可判斷.

①正確，理由如下：

∵,

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,

即∠ACD=∠BCE,

又∵CA=CB,CD=CE,

∴(SAS),

∴AD=BE,

故①正確；

②正確，理由如下：

由①知，，

∴∠CAD=∠CBE,

∵∠DOB為的外角,

∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC,

∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,

∴∠CBA+∠BAC=180°-α,

即∠DOB=180°-α,

故②正確；

③錯誤，理由如下：

∵點、分別是線段、的中點,

∴AM= AD,BN= BE,

又∵由①知，AD=BE,

∴AM=BN,

又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,

∴(SAS),

∴CM=CN，∠ACM=∠BCN,

∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,

∴為等腰三角形且∠MCN=α,

∴不是等邊三角形，

故③錯誤；

④正確，理由如下：

如圖所示，在AD上取一點P使得DP=EO,連接CP，

由①知，，

∴∠CEO=∠CDP,

又∵CE=CD,EO=DP,

∴(SAS),

∴∠COE=∠CPD,CP=CO,

∴∠CPO=∠COP,

∴∠COP=∠COE,

即OC平分∠AOE,

故④正確；

故答案為：B.