Question

將一個寬為2cm的長方形紙條折疊，折痕為AC，重疊部分為△ABC（如圖）．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）若∠ABC=30°，求△ABC的面積；
（3）若△ABC的面積為2cm²，試畫出大致的圖形，并求∠BAC的度數．

Answer 1

分析：（1）根據折疊的性質得到∠1=∠BAC，而∠1=∠2，則∠2=∠BAC，根據等腰三角形的判定定理即可得到結論；
（2）過A作AD⊥BC于D，則AD=2cm，而∠ABC=30°，根據含30°的直角三角形三邊的關系得到AB=2AD=4cm，再利用三角形的面積公式計算即可；
（3）通過面積為2得到BA=BC=2cm，則AB⊥BC，即可得到∠BAC的度數．

解答：（1）證明：如圖，
∵紙條為長方形，
∴∠1=∠2，
又∵長方形紙條折疊，折痕為AC，重疊部分為△ABC，
∴∠1=∠BAC，
∴∠2=∠BAC，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：過A作AD⊥BC于D，如圖，
則AD=2cm，
∵∠ABC=30°，
∴AB=2AD=4cm，
∴BC=AB=4cm，
∴△ABC的面積=

1

2

AD•BC=

1

2

×4×2=4（cm²）；

（3）解：如圖，
∵△ABC的面積為2cm²，
而高總等于紙條寬2cm，
∴BC=2cm，
∴BA=BC=2cm，
∴AB為紙條寬，
∴AB⊥BC，
∴∠BAC=45°．

點評：本題考查了折疊的性質：折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等．也考查了等腰三角形的判定定理以及含30°的直角三角形三邊的關系．