Question

如圖，二次函數y=-

1

36

ax2+

1

4

ax+a（a＞0）的圖象與y軸交于點A，與x軸交于點B、C，過A點作x軸的平行線交拋物線于另一點D，線段OC上有一動點P，連接DP，作PE⊥DP，交y軸于點E．問題：
（1）當a變化時，線段AD的長是否變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出AD的長；
（2）若a為定值，設OP=x，OE=y，試求y關于x的函數關系式；
（3）若在線段OC上存在不同的兩點P₁、P₂使相應的點E₁、E₂都與點A重合，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的解析式，可得到點A的坐標和拋物線的對稱軸方程，進而可表示出點D的坐標，根據A、D的坐標，即可判斷出AD的長是否為定值．
（2）過D作DF⊥x軸于F，可用x表示出PF的長，而DF=a，利用△PEO∽△DPF得到的比例線段即可求得y、x的函數關系式，要注意的是在用x表示PF長的時候，要分兩種情況討論：①點E在x軸上方時，②點E在x軸下方時．
（3）若E、A重合，那么OE=y=a，將其代入（2）題得到的y、x的函數關系式中，可得到關于x的方程，由于不同的兩點P₁、P₂使相應的點E₁、E₂都與點A重合，那么方程的判別式△＞0，由此求得a的取值范圍．

解答：解：（1）DA的長度不變；
由拋物線的解析式知，其對稱軸為：x=

9

2

；
易知A（0，a），則D（9，a），
故AD=9．

（2）易求得B（-3，0），C（12，0）；
①當0＜x＜9時，過D作DF⊥OC于F，
則FC=OC-AD=3，PF=9-x；
由△POE∽△DFP，
得

OE

PF

=

OP

DF

，
∴

9-x

y

=

a

x

，
即y=-

1

a

x²+

9

a

x；
②當9＜x＜12時，點E在x軸的下方，過D作DF⊥OC于F；
由△POE∽△DFP，
得

OE

PF

=

OP

DF

，
∴

y

x-9

=

x

a

，
即y=-

1

a

x²-

9

a

x；

（3）當y=a時，a=-

1

a

x²+

9

a

x，化為x²-9x+a²=0；
由題意得：△＞0，
即9²-4a²＞0，
又因為a＞0，
所以0＜a＜

9

2

．

點評：此題考查了二次函數的對稱性、相似三角形的判定和性質、根的判別式等知識；（2）題考慮問題要全面，不要遺漏點E在x軸下方的情況．