Question

如圖，△ABC內接于⊙O，點D在OC的延長線上，∠B=30°，∠CAD=30°
（1）求證：直線AD是⊙O的切線；
（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OA，∠OAC=2∠BAC=60°，又∠CAD=30°，即AD⊥OA，AD為切線；
（2）連接OB，由垂徑定理和等腰三角形的性質即可證明BC=AC=OA=5，在直角△OAD中，易得AD=5

3

．

解答：（1）證明：連接OA，
∵∠B=30，
∴∠AOC=60°，
∴∠OAC=60°，
∵∠CAD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴AD⊥OA，
∴直線AD是⊙O的切線；

（2）解：連接OB，
∵OD⊥AB，OB=OA，
∴OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
∴△BOC是等邊三角形，
∴OA=BC=OB=5，
在直角△OAD中，∠ODB=30°，
∴OD=10，
∴AD=

OD2-OA2

=

75

=5

3

．

點評：此題考查的知識點是切線的判定和性質以及等邊三角形的判定和性質和勾股定理的運用，解題的關鍵是證明△OBC是等邊三角形．