Question

若k是自然數，且關于x的二次方程（k-1）x²-px+k=0有兩個正整數根，則k^kp•（p^p+k^k）+k^k-p+2+kp+1=

 

．

Answer 1

分析：先設α、β是方程（k-1）x²-px+k=0的兩個正整數根，再由根與系數的關系可得出關于k的方程，求出k、p的值，代入所求代數式進行計算即可．

解答：解：設α、β是方程（k-1）x²-px+k=0的兩個正整數根，
則αβ=

k

k-1

=1+

1

k-1

，α+β=

p

k-1

.
由于α、β是正整數，故αβ也是正數，從而k=2，則αβ=2且α+β=3=

p

p-1

，
故p=3，從而k^kp（p^p+k^k）+k^k+2-p+kp+1=2⁶（3³+2²）+2^2+2-3+2×3+1=1993．
故答案為：1993．

點評：本題考查的是一元二次方程的整數根及根與系數的關系，根據根與系數的關系得出關于關于k的方程是解答此題的關鍵．