Question

知拋物線y=ax²+b（a＞0，b＞0），函數y=b|x|。

問：（1）如圖，當拋物線y=ax²+b與函數y=b|x|相切于AB兩點時，a、b滿足的關系；
（2）滿足（1）題條件，則三角形AOB的面積為多少
（3）滿足條件（2），則三角形AOB的內心與拋物線的最低點間的距離為多少？
（4）若不等式ax²+b＞b|x|在實數范圍內恒成立，則a、b滿足什么關系？

Answer 1

解：（1）當x＞0時，直線的解析式為y=bx，
聯立兩函數的解析式可得：ax²+b=bx，即ax²-bx+b=0，
由于兩函數的交點只有一個，因此△=b²-4ab=0，b=4a。
同理可求得當x＜0時，b=4a
因此a、b需滿足的條件有b=4a。
（2）由（1）可知：y=ax²+4a，y=4a|x|，
因此A（-2，8a），B（2，8a）
因此S_△AOB=×4×8a=16a。
（3）設三角形AOB的內心為M，過M作MN⊥OA于N，
設AB與y軸的交點為H，設MN=MH=x，
根據△ONM∽△OHA，則有：

即
∴
∴OM=8a-x=4a+
易知拋物線的頂點P坐標為（0，4a）
因此三角形AOB的內心與拋物線的最低點間的距離MP=。
（4）根據題意：ax²+b＞b|x|，即ax²-b|x|+b＞0①，
∵a＞0，b＞0
如果要使①恒成立，b²-4ab＜0，
因此0＜b＜4a。